zabika.ru 1

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец

Экзаменационная (письменная) работа по математике

итоговой аттестации выпускников старшей школы

Назарбаев Интеллектуальной школы

физико-математического направления

2012-2013 учебного года


  1. Структура письменной работы


В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников старшей школы используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из трех частей и содержит 20 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Часть 1 содержит 13 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, … , Б13.

Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти предложенных

Задания Б11-Б13 – задания открытого типа с кратким ответом

Часть 2 содержит 5 заданий открытого типа с развернутым ответом продвинутого уровня, они обозначены П14, П15, П16, П17, П18.

Часть 3 содержит 2 задания открытого типа с развернутым ответом высокого уровня, они обозначены В19, В20.


  1. Система оценивания письменной работы


Максимальный балл за всю работу – 48 баллов.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1–Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а задание Б11 - Б13 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2 и части 3

Полное и правильное решение каждого из заданий П14 - П18 оценивается 4 баллами. Задания В19 и В20 части 3 оцениваются 6 баллами каждое. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, с необходимыми пояснениями и обоснованиями, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения.



  1. Шкала перевода баллов в оценку




Оценка «5»

Оценка «4»

Оценка «3»

Оценка «2»

90 – 100 %

75 – 89 %

51 – 74 %

50 % и ниже

43 - 48 баллов

36 - 42 баллов

25 - 35 баллов

24 балла и ниже




  1. Время выполнения работы 300 минут или 5 часов.

Образец экзаменационной работы
Часть 1

Б1. Бассейн наполняется двумя трубами за 4 часа. Первая труба может наполнить бассейн за 5 часов, тогда вторая труба наполняет бассейн:

    1. за 15 часов;

    2. за 25 часов;

    3. за 10 часов;

    4. за 20 часов;

    5. за 30 часов.

Б2. На рисунке 1 показан график функции . Выберите правильный ответ:

  1. «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 5»;

  2. «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 6»;

  3. «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 5»;

  4. «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 6»;

  5. «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно у = 5».

у

х

6

0

Рис. 1

Б3. В треугольнике АВС, площадь которого равна 12, проведена медиана АМ. На медиане взята точка К, АК:КМ = 1:2. Площади треугольников АВК и ВКМ соответственно равны:


    1. 1,5 и 3;

    2. 2 и 6;

    3. 2 и 3;

D)2,5 и 4;

E)2 и 4.

Б4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобиля для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько тенге придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозки

Стоимость перевозки одним автомобилем

(тенге. на 100 км)

грузоподъемность автомобилей

(тонн)

А

3200

3,5

Б

4100

5

В

9500

12

А) 540800 тг

В) 520800 тг

С) 494000 тг

D) 485000 тг

E) 479700 тг

Б5. Пусть и – корни квадратного уравнения . Значение выражения равно:

;

;

;

;

.

Б6. Угол правильного п-угольника равен 1350. Значение п равно:

A)16;

B) 14;

C)12;


    1. 10;

    2. 8.

Б7. Значение выражения равно:

  1. 3;

;

;

;

.

Б8. К графику функции проведена касательная, параллельная прямой . Сумма координат точки касания равна:

    1. 1,8;

    2. 2;

    3. 3;

    4. 3,5;

    5. 12.

Б9. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС,С =900

ВС = а, А = 300. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 600. Высота пирамиды равна:

A) а;

  1. 2а;

  2. а;

  3. а;

.

Б10. Школьный оркестр состоит из учащихся средних и старших классов. 40% музыкантов мальчики, из них 30% из средних классов. 50% девочек также из средних классов. Вероятность того, что наугад выбранный музыкант окажется учащимся из средних классов, равна:


    1. 0,41;

    2. 0,42;

    3. 0,43;

    4. 0,5;

    5. 0,53.

Б11. В наклонной треугольной призме площадь двух граней равна 70 см2 и 150 см2, а угол между ними – 600. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 350 см2.

Б12. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t – 0,01t2 (рад). Найдите, в какой момент времени маховик остановится.

Ответ: 150 с или 2,5 мин .

Б13. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 2 мин быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник проходил круг?

Ответ: 10 мин, 12 мин.

Критерии оценивания заданий части 1

Правильное решение каждого из заданий Б1–Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а задание Б11 -Б13 оцениваются 2 баллами.


Задания


Баллы


Б1

1

Б2

1

Б3

1

Б4

1

Б5

1

Б6

1

Б7

1

Б8


1

Б9

1

Б10

1




зада

ния

Критерии оценивания

Баллы

Максимальный

балл

Б11

Решение содержит переход к планиметрической задаче

1

2

Получен верный ответ

1

Б12

Решение содержит переход к решению неравенства

1

2

Получен верный ответ

1

Б13

Решение содержит математическую модель текстовой задачи и переход к решению простейшего уравнения.

1

2

Получен верный ответ

1


Часть 2
П14. Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Выделим полный квадрат: .


Отсюда имеем:

Поэтому наименьшее значение функции достигается в точке 3, и оно равно 2. 

Ответ 2.

П15. Решите уравнение .

Решение.

П16. Пусть . Найдите угол между векторами и .

Решение. Определим угол между заданными векторами с помощью скалярного произведения: .









.

Аналогично, .

.

или .

П17. Найдите число целых решений неравенства

.

Решение.



Таким образом, целых решений этого неравенства нет.

Ответ: целых решений нет.

П18. Углы при основании трапеции равны 400 и 500. Средняя линия трапеции равна 4, а длина отрезка, соединяющего середины основании, равна 1. Найдите большее основание трапеции.


Решение.А

В

С

D

М

К

Р

Рис. 2

Известно, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой. В таком случае очевидно, что треугольники АРD и ВРС (рис. 2) прямоугольные, а РК и РМ соответственно – медианы, проведенные к гипотенузам в этих треугольниках. Пусть РК = х, тогда ВС = 2х, РМ = х + 1, АD = 2х + 2. С другой стороны, сумма оснований трапеции равна 8, а АD = 8 – 2х. Решим получившееся уравнение:

2х + 2 = 8 – 2х,

х = 1,5.

Итак, АD = 5.

Ответ: 5.

Критерии оценивания заданий части 2



задания

Критерии оценивания

Баллы

Максимальный балл

П14

Верно выделен квадрат двучлена из квадратного трехчлена

1

4

Верно найден наименьшее значение двучлена

1

Верно оценен наименьшее значение функции

1

Получен верный ответ

1

П15


Проведены необходимые преобразования с применением тригонометрических формул

1

4

Получены верные промежуточные значения

1

Верно решены простейшие тригонометрические уравнения

1

Приведен обоснованный отбор корней

1

П16

Верно найдены абсолютные величины заданных векторов

1

4

Верно вычислено скалярное произведение векторов

1

Верно определен косинус угла между заданными векторами

1

Верно определен угол между заданными векторами

1

П17

Верно решено первое неравенство и получен верный ответ

1

4

Записаны необходимые условия для решения данного неравенства

1

Проведены сравнения значений конечных точек найденных промежутков

1

Получен верный ответ

1

П18


Верно записано условие задачи и выполнен чертеж по условию задач

1

4

Верно найдены промежуточные элементы (дополнительные элементы, необходимые для получения искомого элемента).

1

Грамотно и последовательно обоснованы этапы решения.

1

Обоснованно получен верный ответ

1


Часть 3
В19. При каких значениях параметра а уравнение 4х – (2а + 7)∙14х + 2а∙72х+1 = 0 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем данное уравнение:

4х – (2а + 7)∙14х + 2а∙72х+1 = 0.

Пусть, имеем: t2 – (2а + 7)∙t + 14а = 0 (1).

Уравнение (1) имеет ровно один корень, во-первых, если его дискриминант равен нулю (при этом значение t должно быть положительным), во-вторых, если его корни имеют разные знаки либо один из корней положительный, а другой равен нулю. Найдем значения а и проверим знак t в первом случае: 4а2 – 28а + 49 = 0 (2а – 7)2 = 0

а = ; t = 7 > 0. Во втором случае рассмотрим функцию f(t) = t2 – (2а + 7)∙t + 14а, причем t1 ≤ 0 ≤ t2. Для этого решим следующее неравенство: f(0) ≤ 0 a ≤ 0. Итак,


а.

Ответ: а.

В20. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. 

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? 
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов? 


Решение:

а) Приведем пример геометрической прогресии из четырех членов взяв

и получим



б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует. Предположим, такая последовательность есть. Пусть её знаменатель есть

, где взаимно простые натуральные числа. Тогда

.

Так как взаимно просты, делится на , а значит откуда .

Так как . Но k целое, поэтому



Поэтому что противоречит требованию задачи.

Ответ: а) да; б) нет.

Критерии оценивания заданий части 3




задания

Критерии оценивания

Баллы

Максимальный балл

В19

Проведены необходимые преобразования в данном уравнении или неравенстве

1

6

Рассмотрено хотя бы одно условие, необходимое для решения задачи

1

Рассмотрено второе условие, необходимое для решения задачи

1

При составлении или решении условий, связанных с параметром, в результате которых могут быть приобретены посторонние значения, учитывает условие задачи

1

Решение в целом верное, не содержит вычислительные ошибки

1

Обоснованно получен верный ответ

1

В20

Верно записано условие задачи и верно составлена математическая модель задачи.

1

6

Верно и обоснованно выполнен пункт а)

1

Сделано верное предположение в пункте б);

1

Частично приведено доказательство пункта б);

1


приведено полное доказательство пункта б).

1

Обоснованно получен верный ответ.

1

Ответы письменной работы по математике

Часть 1

задания

Ответ

задания

Ответ

Б1

D

Б8

B

Б2

A

Б9

D

Б3

E

Б10

B

Б4

Е

Б11

350 см2

Б5

C

Б12

150 с или 2,5 мин

Б6

E

Б13

10 мин,

12 мин

Б7

A







Часть 2

задания


Ответ

П14

2

П15



П16

.

П17

целых решений нет

П18

5


Часть 3

задания

Ответ

В19

а

В20

а) да; б) нет