zabika.ru 1
  1. Дана последовательность натуральных чисел: , , где min – наименьшее из чисел, – целая часть числа. Докажите, что для всех выполняется .


  2. Пусть , , – длины медиан треугольника ABC, а , , длины его биссектрис. Докажите неравенство:
  3. Последовательность многочленов задана следующим образом: , , для . А) Сколько вещественных корней имеет уравнение ? Б) Докажите, что все корни уравнения лежат в интервале (-2;2)


  4. Из тараканьей норки одновременно выбегают три таракана, которые начинают разбегаться по полу комнаты прямолинейно, с одинаковыми скоростями и в разных направлениях. Первого таракана студент Иванов раздавил через 1 минуту в точке А, второго – через 2 минуты в точке В, третьего – через 3 минуты в точке С. Как ему найти тараканью норку?

  5. Функция при всех x (вложенность функций имеет 2001 порядок). Какое минимальное число корней имеет уравнение ?

  6. Каждая точка окружности окрашена в один из двух цветов: черный или белый. Доказать, что в эту окружность можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

  7. В сказочной стране находится n городов, причем каждая пара городов соединена дорогой с односторонним движением. Докажите, что существует такой город, находясь в котором можно приехать в любой другой город, не нарушая правил дорожного движения.

  8. Докажите неравенство: , где — положительные числа.

  9. Можно ли из чисел 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … выбрать 2002 числа так, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию

  10. Найдите 2004-ю цифру после запятой в десятичной записи числа .
  11. На плоскости задана замкнутая выпуклая фигура S, симметричная относительно начала координат. Известно, что площадь этой фигуры не меньше 4. Докажите, что не меньше трех точек с целочисленными координатами содержится в S. (Фигура называется выпуклой, если для любых двух точек A и B, содержащихся в ней, она содержит весь отрезок AB).


  12. В некоторый нулевой момент времени в центре прямоугольной системы координат Oxyz находится бактерия. Через одну минуту она делится на 6 таких же бактерий, которые перемещаются в разные стороны на единицу длины параллельно одной из осей. Такое превращение происходит каждую минуту с каждой бактерией. Если в какой-то момент времени в одной точке окажется 2 бактерии или больше, они мгновенно взаимоуничтожаются. Сколько бактерий существует в момент времени 2000 минут, сразу после взаимоуничтожения в этот момент времени?

  13. Обозначим через an наибольшее, а через bn – наименьшее из тех kN, при которых уравнение (x1+1)(x2+1)…(xn+1)=kx1x2xn имеет решение (x1,x2,…,xn)  такое, что xixj (ij) и все xiN . Найти an и bn.

  14. Пусть P(n) – обозначает произведение цифр числа n. Решить уравнение 

  15. Доказать, что все функции удовлетворяющие при всех уравнениям являются периодическими.

  16. В выпуклом четырехугольнике ABCD найти отношение AD к CD, если известно, что и
  17. В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты точки C1, A1 и В1 соответственно. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Доказать, что площадь треугольника не превышает четверти площади ABC.


  18. Пусть . Найти наибольшее значение выражения: .

  19. Дана парабола y = ax2 + bx + c . На оси абсцисс отрезок AB поделен на k равных частей: x0 = A, x1, …, xk–1, xk = B. Точки на параболе с соответствующими координатами по оси абсцисс обозначим p0, p1, …, pk–1, pk. Доказать, что четырехугольник с вершинами pi, pk i, pj, pkj (0 ≤ i < j k, jki, iki) является трапецией.

  20. Страус бегает в одном направлении по кругу длиной 1000 м со скоростью м/с. Охотники хотят поймать страуса голыми руками, для этого они взяли под свой контроль участок круга длиной 5 м. Известно, что страус через каждую минуту после начала бега устает и останавливается передохнуть. Поймают ли охотники страуса, если они могут ловить его только тогда, когда он останавливается в контролируемой охотниками зоне?
  21. На поле разложено 1000 предметов, один из которых является «штрафным». Несколько игроков начинают перебегать от предмета к предмету, касаясь некоторых их них. Если игрок коснулся «штрафного» предмета, на финише ему говорят об этом (без указания самого предмета). А) Какое минимальное число игроков надо привлечь, чтобы определить «штрафной» предмет при условии, что его коснется не более 3 игроков? Б) Какое наименьшее число игроков надо привлечь, чтобы определить штрафной предмет?