zabika.ru 1


Лекция 1 (Лектор В.А.Еровенко)
ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ:

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПУТЬ – начало или конец

понимаемой математики
На основе одних лишь философско-мировоззренческих обобщений невозможно дать обстоятельный ответ на вопрос: что такое математика? Принято считать, что не только математика, но и вся наука, понимаемая как единая система знаний и как отдельная сфера интеллектуальной человеческой деятельности, стремящаяся к получению новых знаний, с помощью аксиоматико-дедуктивного метода исследования, возникла в Древней Греции. Говоря о математике как систематической науке последовательно излагаемой в школе, а затем в университете, нельзя не отметить, что дедуктивное и систематической построение математики – это, вообще говоря, не одно и то же.

В отличие от геометрии, которую в принципе для каких-то фрагментов школьной математики можно построить дедуктивно, нет даже речи о том, чтобы арифметику и алгебру вывести дедуктивно из аксиом, хотя они излагаются достаточно систематически. Хотя на самом деле дедуктивно на основе аксиоматики можно построить не только школьную геометрию, но и всю арифметику, и даже алгебру, оставаясь при этом в границах традиционного школьного материала. Но аксиомы натурального ряда чисел, на которых основана арифметика, были сформулированы примерно одно столетие назад итальянским математиком Джузеппе Пеано и изучаются они в университете. По мнению академика Д. В. Аносова: «Такая поздняя формулировка аксиом арифметики – своего рода исторический парадокс». Этому феномену есть определенное объяснение, поскольку еще древние греки говорили, что все есть число, являющееся сутью математики. Для понимания «сути математики», возможно, необходимо философское и методологическое осмысление составляющих ее элементов, поскольку математика даже университетского уровня не обладает монополией на абстракцию.

Исследования в формальных науках принципиально отличаются от исследований в эмпирических науках. Если в эмпирических науках мы стремимся ограничить возможное, пытаясь свести, насколько это возможно, к действительному, то в формальных науках мы стремимся ограничить предполагаемое необходимым, что в математике ничего кроме интеллекта и разума не требует. Поэтому различие между эмпирическим и формальным знанием в значительной мере является не онтологическим, а методологическим. Отчасти это связано со спецификой математики, интересующейся свойствами и отношениями, присущими довольно большому числу объектов. Используя довольно мощные и эффективные абстракции, математические модели пытаются схватить суть явления, не притворяясь при этом, что они охватывают все целиком. По мере того как математики обращаются к более сложным явлениям с все увеличивающейся сложностью, им приходится расширять теоретическую базу аксиом, поскольку, «чтобы больше знать, нужно больше предполагать». При реальной перспективе непрерывного роста аксиоматизации математических знаний вполне естественно возникают две философско-методологические проблемы границы или конца знаний. Во-первых, одна из них – это недоступность знания, что, прежде всего, связано с математическим понятием континуума и актуальной бесконечности. Во-вторых, другая граница – это искажение реальности, поскольку мир может обманывать нас, заставляя думать, что мы адекватно понимаем его, подобно созерцанию теней в философской метафоре «платоновской пещеры».


Математика греков, которая преподается в школе, была конструктивной, так как, по существу, она была основана на применении простейших построений и алгоритмов элементарной математики. Нельзя не отметить, что современная математика с ее алгоритмической и конструктивной установками как бы возвращается к принципам древнегреческой математики, разумеется, с учетом всего ее предыдущего развития, что, безусловно, способствует ее пониманию. Чему, к сожалению, не способствует часть плохих учебников по математике, содержащих множество математических ошибок. Председатель комиссии РАН по экспертизе школьных учебников математики, академик В.А. Васильев, объясняя собственные мотивировки, сказал: «Я хочу, чтобы мои дети и внуки жили в стране (и в мире) умных людей, а не в стране дураков. Кроме того, мне жалко наработанного человечеством знания, если вдруг случится так, что его некому будет понимать». Нельзя оправдать падение уровня математического образования желанием успешно «социализироваться» и ссылкой на выдающуюся методико-педагогическую составляющую пособий, содержащих, с точки зрения профессионального математика, явные методологические ошибки.

Каждый, кому доводилось изучать в школе элементарную геометрию, знает, что она строится как дедуктивная наука, отличаясь этим от экспериментальных знаний. Еще в Древней Греции была понята сила и возможности строго логичного доказательства, и именно греческие математики открыли «аксиоматический метод» для изложения геометрии, который наиболее широко и систематически, прежде всего в педагогических целях, стал применяться в течение двух последних столетий в математике. Поэтому вполне естественным выглядело в среде математиков убеждение, что для любого раздела математики можно указать набор аксиом, достаточный для вывода всех истинных предложений этой науки. Тем не менее в философии математики благодаря гёделевским результатам было установлено, что возможности аксиоматического метода оказались существенным образом ограничены. Заметим, что мощности дедуктивных методов не хватает даже на то, чтобы из конечного числа аксиом вывести все истинные утверждения о целых числах, сформулированные на языке школьной алгебры, то есть гипотетически нужно иметь бесконечно много новых идей.


Принципиальное требование к аксиоматической теории связано с важнейшей методологической функцией, а именно с тем, чтобы внутри теории, построенной на основе принятой системы аксиом, не были возможны никакие противоречия. А что же такое аксиоматический метод? Как популярно объясняет известный логик профессор В.А. Успенский: «Аксиоматический метод – это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путем чисто логических рассуждений». Какую дополнительную методологическую пользу может принести аксиоматизация? Во-первых, подправить интуицию, исправить неточности, двусмысленности и парадоксы, неконтролируемые бессознательными процессами мышления. Во-вторых, она позволяет исследовать отношения между основными положениями и принципами теории, с точки зрения их зависимости или независимости. В-третьих, аксиоматизация позволяет иногда установить недостаточность формальной теории для некоторых естественно возникающих математических проблем.

Для понимания аксиоматически-логического изложения целесообразно сочетать его с описательным стилем. В частности, с тщательным разбором ключевых примеров алгебры, имеющих точки соприкосновения с другими разделами математики и естествознания, предъявляя при этом очень ограниченные требования учащимся и студентам. Напомним некоторые хорошо известные важнейшие аксиомы для рациональных чисел. Эти числа включают в себя все натуральные числа, для которых с помощью аксиоматики Пеано доказывается справедливость следующих свойств операций сложения и умножения, аксиоматически распространяемых на рациональные числа. Операции сложения и умножения для любых рациональных чисел а, b и с ассоциативны, т. е. в школьной терминологии выполняются сочетательные законы:

(а + b) + с = а + (b + с) и (а · b) · с = а · (b · с).


Операции сложения и умножения для любых рациональных чисел а, b и с коммутативны, т. е. выполняются переместительные законы:

а + b = b + а и а · b = b · а.

Для любых рациональных чисел а, b и с, справедливо также свойство дистрибутивности операции умножения относительно операции сложения, т. е. выполняется распределительный закон следующего вида:

а · (b + с) = а · b + а · с.

Кроме того, имеется такое число 0 (нуль), что справедлива аксиома вида а + 0 = а, а также для 1 (единицы) справедлива аксиома 1 · а = а для любого рационального числа а.

Пример из алгебры чисел. Используя перечисленные свойства и аксиомы, доказать, что 0 · а = 0 для любого рационального числа а.

Решение. По определению нулевого элемента необходимо показать, что справедливо равенство а + 0 · а = а. Для этого воспользуемся последовательно аксиомой для единицы 1 · а = а, затем свойствами коммутативности и дистрибутивности, аксиомой для нуля а + 0 = а и опять аксиомой для единицы:

а + 0 · а = 1 · а + 0 · а = (1 + 0)· а = 1 · а = а.

В силу единственности нейтрального элемента (нуля) из полученного равенства непосредственно следует, что 0 · а = 0 для любого числа а.

Замечание. Если в доказанном только что равенстве а · 0 = 0 заменить операцию умножения на сложение, а число 0 на 1, то, вообще говоря, для рациональных чисел не выполняется равенство вида: а + 1 = 1. Кроме того, для рациональных чисел не выполняется дистрибутивность операции сложения относительно операции умножения, т. е. не выполняется распределительный закон следующего вида: а + (b · с) = (а + b) · (а + с).


В учебном пособии по математике белорусских авторов из педагогического университета, принятом в качестве основного в современной школе, утверждение из последнего примера подается как «правило» наравне действительно с правилом или аксиомой 1 · а = а. К большому сожалению, такого рода «методические несуразности» в этом учебном пособии не единственные. Такого рода «некомпетентности» не способствуют пониманию математики и ликвидации разрыва между естественным процессом алгебраизации и аксиоматизации математики и языком современного естествознания. Наибольший вред приносит школьной математике представление о ней как о своеобразной логической игре с большим количеством слабо мотивированных аксиом. Известный математик и популяризатор математического знания В.И. Арнольд говорил: «Давно уже пора ликвидировать ореол непознаваемости, созданный вокруг математики дедуктивно-аксиоматическим ее изложением». Психологические трудности восприятия и схоластического изложения многих абстрактных математических понятий состоит отчасти в том, что в университетском и даже школьном курсе математики изложение теории начинается с немотивированных определений.

Математикам хорошо известен такой парадокс: если даже элиминировать, то есть каким-то образом устранить или удалить абстрактные понятия из доказательств, то обнаруживается «философско-методологический дефект» такой процедуры, а именно: теряются дополнительные неявные знания, которые содержатся в исходных предложениях. Доказуемость, бесспорно, важный критерий истинности, даже если она основывается только на логической выводимости утверждений и теорем из аксиом, истинность которых в рамках формальной системы не рассматривается. Однако наряду с критерием доказуемости используются также критерий интуитивной очевидности, критерий непротиворечивости и критерий полезности математической модели. Проблема расширения границ практических возможностей обусловлена существующим барьером между тем, что можно сделать в принципе и тем, что можно реализовать на практике. «Практическая реализуемость»  это тоже важное понятие, вполне достойное серьезных философских рассуждений. С точки зрения феноменологического подхода, в духе единства идеального предмета и смысла, математикам, чтобы избежать путаницы пока еще не унифицированных понятий, подобно тому, как это делают физики, следует использовать оба различных смысла.


Возросшая абстрактность современной математики породила и более серьезную проблему о внутренне непротиворечивой системе аксиом, в которой нельзя вывести противоречащие друг другу утверждения. Если речь идет об аксиомах, описывающих хорошо известную область математических объектов, то эта проблема не представляется столь уж актуальной. Но как замечает английский философ математики Альфред Айер: «Способность логики и математики приносить нам сюрпризы, как и их полезность, зависит от ограниченности нашего разума. Существо, чей интеллект бесконечно могуч, не проявляло бы интерес к логике и математике. Ибо оно было бы способно увидеть с первого взгляда все, что влекут его определения, и, соответственно, оно никогда не узнало бы из логического вывода что-то такое, что полностью уже не сознавало». Но поскольку наш интеллект не таков, то с этим связаны различные попытки объяснить математическое существование через непротиворечивость, т. е. считать, что в математике реально все, что не является невозможным, а в контексте школьной математики можно понимать математическое существование как потенциальную осуществимость.

Если отвлечься от философских метафор, типа платоновского мира идей, то, рассуждая о попытках отождествления существования с непротиворечивостью, можно воспользоваться и такой физической аналогией: хотя фактическое не является невозможным, тем не менее возможное существует не всегда. Тот факт, что для осознания следствий из аксиом алгебры или геометрии большинство из нас нуждается в методической помощи соответствующего иллюстративного примера, вообще говоря, не показывает, что отношение между следствиями и аксиомами не является чисто логическим отношением. С одной стороны, такая методологическая репрезентация аксиоматического изложения математики демонстрирует то обстоятельство, что наши умственные способности неадекватны задаче непосредственного выполнения абстрактных рассуждений без какой-либо помощи «непосредственного созерцания». А с другой стороны, немотивированное обращение к различного рода «созерцаниям», даже имеющим определенную психологическую ценность, является источником опасности, когда предположения, следующие из таких оснований, могут оказаться случайно истинными, а не следующими из выбранной изначально системы аксиом.


Критерий непротиворечивости аксиоматически построенной теории, несмотря на его существенную роль в аксиоматических системах как формального, так и содержательного характера, является таким же вспомогательным логическим критерием, как и доказуемость. С точки зрения образовательной практики, наибольшую методологическую ценность представляют нестандартные примеры конкретной реализации хорошо известных аксиом. Проиллюстрируем это на оригинальном примере, взятом из лекции «Необыкновенная алгебра» автора многочисленных пособий для учащихся и учителей средней школы, профессора И.М. Яглома. Примем за элементы новой алгебры какое-то ограниченное множество вещественных чисел, например, все числа отрезка [0, 1], а операции сложения и умножения определим совершенно новым способом, и поэтому будем обозначать их новыми знаками  для сложения и  для умножения.

По определению, сумма х  у двух чисел х и у равна наибольшему из этих чисел или любому из них, если х = у, а произведение х  у двух чисел х и у равно наименьшему из этих чисел или любому из них, если х = у, т. е.

x  у = max [xу] и х  у = min [xу].

Пример из алгебры максимумов и минимумов. Используя новые определения операций сложения и умножения доказать, что они тоже обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, а также для них справедливо новое свойство дистрибутивности сложения относительно умножения, т. е. для любых х, у и z из [0, 1] имеем

х  (у  z) = (х  у)  (х  z).

Решение. Непосредственно из определений новых операций сложения  и умножения  следует справедливость свойства ассоциативности, т. е. сочетательных законов вида (х  у)  z = х  (у  z) и (х  у)  z = х  (у  z), и свойства дистрибутивности, т. е. переместительных законов вида х  у = у  х и х  у = у  х. В частности, в силу свойства ассоциативности новых операций, можно писать просто без скобок, как и для обычных операций что, например, х  у  z – это max [xуz], а (х  у)  z – это min [xуz].


Проверим теперь дистрибутивность операции нового умножения относительно операции нового сложения, а именно выполнение распределительного закона вида х  (у  z) = (х  у)  (х  z). Из определения ясно, что число, х  (у  z) = min {x, max [yz]}, поэтому оно равно х, если хотя бы одно из чисел y, z больше х, и равно большему из чисел y и z, если они оба меньше х. Но точно такому числу равно число в правой части доказываемого равенства, а именно вида (х  у)  (х  z) = max {min [xу], min [xz]}.

Аналогичным образом доказывается дистрибутивность операции нового сложения относительно операции нового умножения, а именно распределительный закон вида х  (у  z) = (х  у)  (х  z). Поскольку по определению число х  (у  z) = max {х, min [уz]}, то оно равно х, если хотя бы одно из чисел y, z меньше х, и равно наименьшему из чисел y и z, если они оба больше х. Но этому же числу равно число в правой части доказываемого равенства, а именно, (х  у)  (х  z) = min {max [xу], max [xz]}.

Замечание. Для наименьшего числа 0 и наибольшего числа 1, рассматриваемой алгебры максимумов и минимумов, справедливы стандартные аксиомы для операций сложения и умножения, а именно, х  0 = max [x, 0] = х и 1  х = min [1, х] х. Кроме того, очевидно, что справедливо привычное равенство 0  х = min [0, х]  = 0. Однако, в отличие от обычной операции сложения, справедливо также новое равенство вида х  1 = max [x, 1] = 1.


Этот пример хорошо иллюстрирует то обстоятельство, что если говорить об убедительности привычных для нас законов арифметики, то она вытекает не из реальной практики счета, а из общих универсальных требований абстрактной или категориальной математики, а также философской онтологии, поскольку, вообще говоря, нельзя смешивать применение математической истины с самой этой истиной. Если логические основания математической теории помогают с помощью аксиом и правил вывода помогают анализировать истинность применяемых математических принципов, то в математических основаниях истинность подразумевается. Поскольку оценка полезности математической теории зависит от ее назначения, то для реализации различных целей можно воспользоваться по-разному построенными аксиоматическими теориями. Заметим, что большинство работающих математиков и преподающих ее понимают под «аксиоматизацией» вовсе не пересмотр основ математики, который вообще-то их мало волнует. Как сказал французский математик Жан Дьёдонне: «То, что они называют аксиоматикой, есть рациональный и упорядоченный путь изложения определений и теорем, который направлен на прояснение “интуиции, чем давит на нее». Поэтому на школьном уровне, в отличие от университетских курсов, излишнее усердие при использовании аксиоматического метода можно подвергнуть вполне обоснованной определенной критике.

Кроме того, сложнейший философский вопрос связан с определением непротиворечивости аксиоматической теории. В современной математике разработана специальная методология, называемая моделированием, которая в применении к реальному миру иногда может быть полезной, а иногда может приводить к самообману. В действительности отдельные факты известны только с некоторой долей вероятности, или с некоторой точностью, поэтому любой модели присуща идеализация, согласно которой эти факты признаются верными и принимаются за аксиомы. Наряду с такими вопросами, как непротиворечивость и полнота рассматриваемой аксиоматики, с точки зрения философии математики приходится исследовать и область ее задания. Такая область, точнее совокупность таких объектов и заданных на них отношениях, которые удовлетворяют всем требованиям рассматриваемой системы аксиом, называется моделью этой системы. Система аксиом называется совместной, если она имеет модель. А совместность системы аксиом является уже достаточным условием ее непротиворечивости. Это уже теорема специальной математической дисциплины – математической логики. Психология тоже знает множество сходных явлений, при изучении которых нельзя говорить о результате наблюдения, не описав способы наблюдения.


Для реального стиля математического мышления характерно то, что оно связано с нашими способностями к умственным построениям, свойственным и другим способам познания. Поэтому если кто-то считает математику даже школьного уровня, по крайней мере, догматичной, то тогда придется назвать догматичным любое рассуждение. Вообще-то, никогда нельзя быть вполне уверенным в том, что при изложении математического знания вас поняли без ошибок. Заметим, что философские основания математики определяются отчасти как общим контекстом меняющейся социокультурной среды, в которую погружена наука, так и спецификой исторически эволюционно развивающихся математических теорий. Как объясняет английский математик и физик Роджер Пенроуз: «Нельзя создать такую систему правил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже тех арифметических положений, истинность которых, в принципе, доступна для человека с его интуицией и способностью к пониманию, а это означает, что человеческие интуицию и понимание невозможно свести к какому бы то ни было набору правил». При таком подходе математики могут избавиться от методологических упреков в том, что они в качестве основы своих математических убеждений используют какую-либо необоснованную формальную систему.

Одна из величайших загадок природы заключается в потрясающем соответствии абстрактных математических структур реальному миру, другая загадка состоит в способности нашего мышления вывести математическую упорядоченность из хаотичной реальности, а третья – в «непостижимой математичности физического мира». Поиск простейших математических структур привлекателен в логическом и естественнонаучном отношении в контексте современной формулировки проблемы единства мира. В то же время понятие математической структуры не претендует на объяснение успехов математизированного мышления, поскольку оно изначально было создано для систематизации методических приемов внутри самой математики. Негативные аспекты предпринятых ранее попыток формального, так называемого «бурбакистского», введения основ математики как системы формальных определений не должны вести к радикальному отказу от точных и содержательных рассмотрений вообще. Нельзя заниматься математикой на университетском уровне, где используется теоретико-множественный язык, делая при этом вид, что без него как бы можно обойтись.


Аксиоматический путь – это наиболее характерная черта развития формализованной математики. Из всех методов, которыми располагают математики, они выделяют аксиоматику, которая позволяет ставить методологические задачи по классификации математических объектов. При этом желательно, чтобы аксиомы математики были истинами логики и математики, выраженными на формальном языке. Особенность математической теории заключается в том, что ее аксиомы не только однозначно определяют содержание возможных теорем, но и сами определяются системами уже доказанных теорем, то есть математических теорий. Поэтому мировоззренчески важно изучать абстрактную математику, пусть даже в лечебных целях, уже на школьном уровне, не злоупотребляющем аксиомами. Известный математик-прикладник академик Н.Н. Красовский настаивает: «И надо знать ее, и надо стараться развивать и раскованную интуицию, и строгое логическое мышление каждому школьнику. И надо уметь решать задачи, когда надо – строго обоснованно, а когда – интуитивно достоверно». Эта принципиальная позиция для понимания математической теории, поскольку становление аксиоматики абстрактной математики достигает в ней «предельного состояния», устраняющего возможность ее дальнейшего изменения, касающегося заключенного в ней содержания.

В поддержку аксиоматического метода изложения математики достаточно высокого уровня, требующего философско-методологического обоснования новых теорий, заметим, что математики в познании следуют дедуктивному методу: от аксиом науки или врожденных идей к логическим следствиям в виде законов и теорем. Но уместно заметить, что не все рассуждения сводятся исключительно к дедуктивным рассуждениям, хотя формализации и математизации поддаются только именно такие рассуждения. Даже строго дедуктивные рассуждения не могут быть полностью формализованы. Поэтому удивительно, слышать с завидным упорством повторяемое мнение, что математика развивает дедуктивное мышление, которое жизненно необходимо культурному человеку. Вообще говоря, это не совсем так! Да, необходимо, но «не жизненно», точнее необходимы специальные разделы математики для разных специальностей. Правильнее говорить, что математические идеализации обладают некой необходимостью для мышления, поскольку математика с ее дедуктивными приемами, численным соотношениями и структурными описаниями все же лежит в основе научного познания.


Теоретической основой современной математики является теория множеств. На множествах задаются операции объединения и пересечения множеств, которые являются специфическими аналогами операций сложения и умножения для чисел. Для исключения парадоксов в теории множеств, созданной немецким математиком Георгом Кантором, используется аксиоматическое построение теории множеств. В частности для определения равенства множеств используется аксиома объемности, согласно которой множества A и B равны, обозначается A = B, если все элементы множества A принадлежат также множеству B, и наоборот, все элементы множества B принадлежат также множеству A, или A = B Û (A Ì  B и B Ì  A).

Объединением двух множеств A и B, обозначается A  B, называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B, или A  B = {x: x  A или x  B}. Пересечением двух множеств A и B, обозначается A Ç B, называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств A и B, или A Ç B = {x: x  A и x  B}. Исходя из данных определений этих операций, можно непосредственно доказать, что они ассоциативны, т. е. для операций объединения и пересечения любых трех множеств A, B и C выполняются следующие свойства ассоциативности:

A  (B  C) = (A  B)  C и A  (B  C) = (A  B)  C.

Также непосредственно из определения этих операций доказывается, что они коммутативны. Для операций объединения и пересечения любых двух множеств A и B выполняются свойства коммутативности:

A  B = B  A и A  B = B  A.

Следует заметить, что при чередовании операций объединения и пересечения для любых трех множеств A, B, и C выполняются свойства дистрибутивности одной операции относительно другой:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) и A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Доступные доказательства понимаемой математики последних двух равенств можно найти в популярной у студентов-гуманитариев книге «Основы высшей математики для филологов». Напомним, что в числовых примерах для операций сложения и умножения есть аналог свойства дистрибутивности умножения относительно сложения, но нет аналога свойства дистрибутивности сложения относительно умножения.


В теории множеств имеется аналог числа 0 (нуль) – это пустое множество, которое вводится для удобства рассуждений в теории множеств. По определению множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом .

Замечание. Во избежание недоразумений следует заметить, что пустое множество единственное. Например, пустое множество динозавров в Минском зоопарке и пустое множество мух в котлетах представляют собой одно и то же множество. Это подобно тому, как кофе без сахара не отличается от кофе без сливок.

Кроме того, в теории множеств есть аналог числа 1 (единицы) – это так называемое универсальное множество. Обычно предполагается, что множества, рассматриваемые в рамках какой-либо теории, являются подмножествами одного достаточно большого множества, называемого универсальным множеством и обозначаемого через U.

Из определения пустого и универсального множеств следует справедливость аналогов числовых равенств вида а + 0 = а и 1 · а = а, для любого рационального числа а, а именно, равенства для множеств вида A   = A и U  A = А, справедливые для любого множества A  U.

Пример из алгебры множеств. Используя сформулированные выше определения пустого и универсального множеств показать, что   A =  и A  
U для любого множества A.

Решение. Эти равенства непосредственно следуют из определения операций пересечения и объединения множеств и из определений пустого и универсального множеств. Заметим только, что первое равенство для множеств – это аналог равенства 0 · а = 0 для обычного умножения чисел и равенства 0  х = 0 для операции умножения  в алгебре максимумов и минимумов, а второе равенство для множеств – это аналог равенства а + 1 = 1, которое не выполняется для обычного сложения, но выполняется для операции сложения  в алгебре максимумов и минимумов, т. е. х  1 = 1.


В заключение следует признать, что современная математика остается одним из самых эффективных способов открытия истин. Математические истины воспроизводимы в мышлении учащегося и студента лучше, чем физические опыты в учебных практикумах, что говорит о самодостаточности математического мышления. Во все времена, активно влияя на все типы мышления, именно научная рациональность была «оплотом рациональности» других сфер общественной жизни. Рациональные критерии обоснования играют определенную роль в становлении фактической строгости. Это требование традиционно предъявляется к математике, которая должна быть представлена как строгая наука, прежде всего потому, что строгость математических рассуждений сводит к минимуму риск появления противоречий.

Отвечая на вопрос об аксиоматическом пути изложения математики, можно сказать, что это не начало и не конец понимаемой математики, а один из возможных и очень эффективных путей логического вывода, основанный на аксиомах и требующий определенной дисциплины мышления. Поэтому этим методом, в отличие от университетских курсов математики, не следует злоупотреблять в математике школьного уровня, поскольку нельзя не признать право на математическую достоверность и за другими схемами абстрактных математических рассуждений.