zabika.ru 1 2 3

Самуйлов Александр Захарович


ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 1

(Учебно–методический комплекс для студентов, объём курса 60 часов)
Выбор варианта. В условие задачи включена величина , где – две последние цифры номера зачётной книжки. Это и есть индивидуальный вариант задачи.

Оформление решения. При решении можно использовать любую вычислительную технику, в том числе и системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD и другие), однако целью курса является не ответ, а изучение алгоритма вычислений, поэтому необходимо представить последовательность операций и все промежуточные результаты.

1. Предмет и методы вычислительной математики.
Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Численный метод решения задачи – это определённая последовательность операций над числами (вычислительный алгоритм). Языком численного метода являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на компьютере, что делает эти методы мощным и универсальным инструментом исследования.

Однако задачи, подлежащие решению, формулируются обычно на математическом языке (языке уравнений, функций, производных, интегралов и т. п.). Поэтому разработка численного метода необходимо предполагает замену исходной задачи другой, близкой к ней, и сформулированной в терминах чисел и арифметических операций.

Несмотря на всё разнообразие способов такой замены, некоторые общие свойства присущи всем вычислительным алгоритмам. Эти свойства демонстрирует следующий простейший пример.

Пример. Найти положительный корень уравнения , т.е. извлечь квадратный корень из . Можно написать ответ , но символ не решает задачи, так как не даёт способа вычисления величины .


Поступим следующим образом. Возьмём какое – либо начальное приближение (например, ) и будем последовательно вычислять значения , , , . . . с помощью формулы

,

получим:



Начиная с , шесть цифр в дробной части не меняются, поэтому с точностью .
Сформулируем теперь принципы, общие для всех численных методов:

1) Исходная задача заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом;

2) Вычислительный алгоритм содержит параметр , которого нет в исходной задаче;

3) Выбором параметра можно добиться любой близости решения второй задачи к решению первой;

4) Неточная реализация алгоритма, вызванная округлениями, не меняет существенно свойств алгоритма.

Задача 1. Выбрать начальное приближение и вычислить


по алгоритму

.

Если из числа
корень извлекается точно, значение увеличить на 1.
2. Погрешности результатов численного решения задач.

Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата.

Принцип минимальности разности между числом и его округлённым значением приводит к следующему правилу округления:

если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется;

если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1;

если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1.

Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры подразделяют на верные и сомнительные, исходя из понятия абсолютной и относительной погрешности числа.

Погрешностью приближённого числа называется разность между ним и точным значением . Так как точное значение неизвестно, то и погрешность обычно неизвестна и можно найти только оценку погрешности. Обозначим оценку погрешности приближённого числа символом , тогда определяется из неравенства


.

Число называется абсолютной погрешностью приближённого числа . Обычно выбирается возможно меньшее значение . Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя – тремя значащими цифрами и в приближённом числе не следует сохранять те разряды, которые округляются в его абсолютной погрешности. Округляются абсолютные погрешности по своим правилам: только в большую сторону.

Количество верных значащих цифр числа отсчитывается от первой значащей цифры до первой значащей цифры его абсолютной погрешности; остальные цифры числа называют сомнительными. В окончательных результатах вычислений обычно оставляют верные цифры и одну сомнительную.

Пример. Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до , равны и .

Определить погрешность величины площади комнаты и записать площадь с верными и одной сомнительной цифрами.

Решение. По условию и . Максимальная и минимальная возможные значения площади равны


; .

Вычисляем , , следовательно, можно взять . Таким образом, величина площади имеет три верных цифры и сохраняя одну сомнительную, получим .

Во многих приложениях принято характеризовать точность приближённых чисел их относительной погрешностью. Обозначим относительную погрешность приближённого числа символом , тогда по определению . Относительная погрешность обычно выражается в процентах и её принято записывать не более чем с двумя – тремя значащими цифрами. Относительная погрешность – это безразмерная и нормированная величина, поэтому её удобно использовать для сравнения точности различных приближённых величин.

Пример. Найти относительную погрешность площади комнаты.

Решение.

Задача 2.

2.1. Округлить число ) до трёх значащих цифр; ) до четырёх значащих цифр; ) до пяти значащих цифр; ) до восьми значащих цифр; ) до десяти значащих цифр.


2.2. Округлить число : ) до одной значащей цифры; ) до четырёх значащих цифр; ) до трёх значащих цифр.

2.3. Определить количество верных значащих цифр числа , если известна его абсолютная погрешность : ) ;

);); ); ) .

2.4. Длина, ширина и высота аквариума измерены с точностью до и равны , , .


Найти объём аквариума с верными и одной сомнительной цифрами и относительную погрешность величины объёма.
3. Решение алгебраических уравнений.
Найти точное решение уравнение не всегда просто, поэтому рассмотрим его приближённое решение методом Ньютона. Для начала вычислений требуется начальное приближённое значение корня .

Построим алгоритм уточнения корня. Пусть имеется приближение . Необходимо получить формулу вычисления следующего приближения . Левую часть уравнения разложим в ряд Тейлора в окрестности точки : При вычислении приближения будем вместо уравнения использовать уравнение , в котором взяты только два первых члена разложения . Так как , то получим уравнение , из которого находим

.

Этот алгоритм называется методом Ньютона решения алгебраических уравнений. Имеются и другие алгоритмы, однако метод Ньютона используется чаще всего.


Один шаг вычислений называют итерацией. Итерации продолжают до тех пор, пока не буде получено , где – заданная точность.

Начальное приближение можно определить по графику левой части уравнения.
Пример. Найти с точностью корень уравнения .

Решение. Построим график левой части

График показывает, что можно взять .

Приближения к корню вычисляем по формуле

:



,



Так как , то корень вычислен с заданной точностью .

Проверка: .

Задача 3. Вычислить с точностью меньший корень уравнения по алгоритму


.

Проверить корень.

Начальное приближение можно определить либо по графику левой части уравнения, либо по свойству: если можно найти два значения и таких, что и имеют противоположные знаки, то на промежутке имеется корень (возможно, не один).

4. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений.
а). Определение матрицы. Матрицей размера × называется прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов:


Числа называются элементами матрицы . Первый индекс указывает номер строки, второй индекс – номер столбца, на пересечении которых расположен элемент .


Если , то матрица называется прямоугольной; если , то матрица называется квадратной порядка .

Матрица, полученная из матрицы путём замены строк столбцами с сохранением их номеров, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается (или ).

Для матрицы–строки транспонированной будет матрица–столбец и наоборот.

Пример 1. Транспонировать матрицу . Решение. .
Прямоугольная матрица размера 1× называется матрицей–строкой и её элементы отмечаются одним индексом: .

Прямоугольная матрица размера × 1 называется матрицей–столбцом:



Матрицу–столбец обычно записывают как строку с использованием операции транспонирования в виде

Матрицу–строку и матрицу–столбец называют также векторами.

Квадратные матрицы – го порядка вида


и


называют соответственно единичной и диагональной матрицами.


б). Операции над матрицами. Операции суммирования, вычитания, умножения и деления матрицы на число, а также сравнение матриц выполняются поэлементно.

Умножать и делить матрицы можно также поэлементно, но обычно используется специальная операция умножения, выполняемая по следующему правилу: элемент матрицы равен сумме произведений элементов –й строки матрицы на соответствующие элементы –го столбца матрицы . Из этого правила следует, что умножение матрицы на матрицу возможно только при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .


Из определения умножения матриц следует, что в общем случае . Более того, произведение может существовать, а – нет.

Произведение матрицы–столбца на матрицу–строку всегда имеет смысл, а умножение матрицы–строки на матрицу–столбец можно выполнить только при условии, что они содержат одинаковое количество элементов.

Так как две любые квадратные матрицы одного и того же порядка можно перемножить, то можно найти матрицу . Эта матрица называется квадратом матрицы и обозначается . Aналогично определяется матрица . Нулевой степенью матрицы называется единичная матрица : .

Пример 2. Даны матрицы и . Найти .

Решение. .

Пример 3. Даны матрицы и . Найти .


Решение. Так как сомножители одинаковой размерности, то можно найти произведение двумя способами: поэлементным умножением и матричным.

Поэлементное умножение: .
Матричное умножение: .

В системе компьютерной математики MATLAB реализовано как матричное, так и поэлементное умножение.
в). Определитель квадратной матрицы. Одной из важнейших характеристик квадратной матрицы является её определитель (или детерминант), который обозначается или и составляется из тех же элементов (расположенных в том же порядке), что и матрица:



Определитель матрицы – это число, которое определяется с использованием миноров и алгебраических дополнений данного определителя.

Минором элемента определителя называется определитель -го порядка, полученный из вычёркиванием –й строки и –го столбца, на пересечении которых находится данный элемент .


Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Пример 4. Дана матрица . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента .

Решение. ; ;



Определитель матрицы равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения:

,

где -номер любой строки.
Пример 5. Дана матрица . Найти её определитель.

Решение. . Возьмём , тогда

.

Если для вычисления определителя взять вторую строку, то получим ту же величину определителя:


.

г). Обратная матрица.

Матрицу, обратную квадратной матрице , обозначают и определяют из условия: . Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы . Обратная матрица определяется равенством:

.
Чтобы найти обратную матрицу , надо построить вспомогательную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы , транспонировать её и умножить на число .

Пример 6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

Решение. В примере 5 найдено . Составляем вспомогательную матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы :


.


.

Проверка:

;


д). Решение системы линейных уравнений матричным методом.

Разработано много методов решения систем линейных уравнений. Рассмотрим один из них – матричный. Этот метод очень просто использовать в системах компьютерной математики (MATLAB, MathCAD и других).

Системой из линейных уравнений с неизвестными называются соотношения вида



В этой системе – неизвестные, подлежащие определению; – числа, называемые коэффициентами при неизвестных; – числа, называемые свободными членами (или правыми частями).

Решением системы уравнений называется совокупность таких чисел , которая обращает все уравнения системы в тождества.


Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе – несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой, а система, имеющая более одного решения, – неопределённой.

Система линейных уравнений имеет очень компактную форму записи в матричном виде.

Составим из коэффициентов системы матрицу:



Эту матрицу называют матрицей системы. Определим еще две матрицы:

, ,

тогда систему можно кратко записать в виде матричного уравнения

.

Рассмотрим важнейший частный случай системы, когда число уравнений равно числу неизвестных (), тогда матрица квадратная. Если , то система имеет единственное решение. Действительно, в этом случае матрица имеет обратную матрицу , умножим обе части равенства слева на , получим . Но , а , следовательно,


.

Это и есть формула матричного решения системы линейных уравнений. Выполнив матричные операции в правой части, получим численное решение системы.

Отметим, что – это матрица–столбец, и если записана как строка, то при решении по формуле матрицу необходимо транспонировать, и формула матричного решения будет иметь вид .

Пример 7. Проверить определённость системы. Если она определённая, решить систему:



Выполнить проверку решения.

Решение. Составляем матрицу системы: и вычисляем определитель: . Так как , то система определённая, имеет единственное решение. Решение находим по формуле . Составляем матрицу-столбец , вычисляем ,

. Таким образом, .

Проверка:


следующая страница >>