zabika.ru 1 2 3

Материалы лабораторных занятий


Темы лабораторных занятий

1-ый рейтинг


  1. Лабораторная работа №1: Прогнозы с применением метода скользящего среднего.

Сглаживание по простой, скользящей средней.

Наиболее распространенной процедурой сглаживания, является метод скользящей средней. Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания (д). Если необходимо сгладить мелкие колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, если нужно сохранить более мелкие колебания, то интервал сглаживания уменьшают.

Для первых (д) уровней временного ряда вычисляются их среднее арифметическое значение. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень в право, повторяются вычисление средней арифметической и т.д.

Длину интервала сглаживания (д) удобно брать в виде нечетного числа, в этом случае расчетные значения скользящей средней будут приходиться на средний интервал ряда.

Например: Для интервала (д)=3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

(5)

Для того, что бы не потерять первый и последний уровни ряда, их можно вычислять по формулам параболического интервала.

(6)



Метод простой скользящей средней дает хорошие результаты в динамических рядах с линейной тенденцией развития.

Сглаживание с использованием взвешенной скользящей средней.

Для рядов с нелинейной тенденцией развития необходимо применять метод взвешенной скользящей средней. Этот метод отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни входящие в интервал сглаживания суммируются с разными весами.


Для полиномов второго и третьего порядков по 5-ти членной взвешенной скользящей средней, центральные значения интервала определяются по формуле:

(7)

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномом 2-го и 3-го ряда порядков в зависимости от длены интервала сглаживания, представлены в таблице:



Длина интервала сглаживания

Весовые коэффициенты

5



7



9



Задание по лабораторной работе №1:

По данным динамики урожайности за 10 лет приведенным в таблице рассчитать:

- 3-х, 5- летние скользящие средние простые

- 5- летние скользящие средние взвешенные

- сравнить результаты расчетов

2) Лабораторная работа №2: Прогнозирование на основе анализа трендов и сезонности.

Покажем применение математического моделирования к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний, поэтому рассмотрим только методы моделирования последних.

Простейший подход – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.


Аддитивная модель временного ряда:

A = T+S+E

Мультипликативная модель временного ряда:

A = T*S*E

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной модели сводится к расчету значений T, S, E для каждого уровня временного ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. Расчет значений сезонной компоненты S;

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+E) в аддитивной или (T*E) в мультипликативной модели;

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Методику построения аддитивной модели временного ряда рассмотрим на примере.

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда.

В таблице 1 указан объем продаж (тыс. тенге) за последние 11 кварталов. Построим аддитивную модель временного ряда.

Для данного примера предлагается находить среднее арифметическое четырех последовательных значений уровней методом скользящей средней:



и т.д.

Таблица 1 – Объем продаж (млн. тенге) за 11 кварталов

№ квартала


Объем продаж

Скользящая средняя за 4 квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценки сезонной вариации

1

4










2

5










3

5

5

5,625

-0,625

4

6

6,25

6,75

-0,75

5

9

7,25

7,625

1,375

6

9

8

8,5

0,5

7

8

9

9,25

-1,25

8

10

9,5

10

0

9

11

10,5

11,5

-0,5


10

13

12,5







11

16










Замечание. Если при заполнении третьего столбца скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов, то результат записывается напротив среднего слагаемого и данные не надо центрировать (т.е. не надо заполнять четвертый столбец).

Полусумму двух соседних чисел из третьего столбца запишем в четвертый столбец напротив верхнего из них, таким образом производится центрирование скользящей средней.

Пятый столбец – это разность второго и четвертого столбцов (второго и третьего столбцов, если скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов). Заполним таблицу 2.

Оценки сезонной вариации запишем под соответствующим номером квартала в году. В каждом столбце вычисляем среднее (равно сумме чисел в столбце/количество чисел в столбце).

Результаты пишем в строке «Среднее» (округление до 1 цифры после запятой).

Сумма чисел в строке «Среднее» равно (-0,4). Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы общая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной вариации в целом за год.

Корректирующий фактор вычисляется следующим образом: сумма оценок сезонных вариаций (-0,4) делится на число кварталов в году (4), и найденное частное вычитается из каждого числа строки «Среднее».

Поэтому из каждого числа этой строки надо вычесть (-0,1).

В последней строке получены значения сезонной вариации для соответствующего квартала года. Таким образом мы выполнили шаг 2.

Теперь можно выполнить третий шаг, т.е. исключить сезонную вариацию из фактических данных. Проведем десезонализацию данных.


Таблица 2 – Расчет значений сезонной вариации




Номер квартала в году




1

2

3

4







-0,625

-0,75

1,375

0,5

-1,25

0

-0,5










Сумма

Среднее

0,4

0,5

-0,9

-0,4

-0,4

Скорректированная сезонная вариация

0,5

0,6

-0,8

-0,3

0

Таблица 3 – Десезонализация данных

№ квартала

Объем продаж

Сезонная вариация S


Десезонализирован-ный объем продаж

A-S = T+E

1

4

0,5

3,5

2

5

0,6

4,4

3

5

-0,8

5,8

4

6

-0,3

6,3

5

9

0,5

8,5

6

9

0,6

8,4

7

8

-0,8

8,8

8

10

-0,3

10,3

9

11

0,5

10,5

10

13

0,6

12,4

11

16

-0,8

16,8

Далее выполним четвертый шаг, т.е. аналитическое выравнивание уровней Т+Е. Уравнение линии тренда равно Т = a+b*t.


Коэффициенты a и b найдем из системы уравнений по данным первого и последнего столбцов:





Для нашего случая a = 2,1; b = 1,1.

Подставляем в уравнение линии тренда значения t = 1, 2,…, 11.

Найдем уровни Т для каждого момента времени, тем самым завершим четвертый шаг. Далее переходим к пятому шагу, т.е. займемся расчетом ошибок. Для этого из чисел 3-го столбца вычитаем числа 4-го столбца и результат пишем в 5-ом столбце.

Таблица 4 – Расчет ошибок

№ квартала

Объем

продаж

A-S=T+E

Трендовое значение

Ошибки et



et2

1

4

3,5

3,2

0,3

0,3

0,09

2

5

4,4

4,3

0,1

0,1

0,01

3

5

5,8

5,4

0,4

0,4


0,16

4

6

6,3

6,5

-0,2

0,2

0,04

5

9

8,5

7,6

0,9

0,9

0,81

6

9

8,4

8,7

-0,3

0,3

0,09

7

8

8,8

9,8

-1

1

1

8

10

10,3

10,9

-0,6

0,6

0,36

9

11

10,5

12

-1,5

1,5

2,25

10

13

12,4

13,1

-0,7

0,7

0,49

11

16

16,8


14,2

2,6

2,6

6,76













Сумма

8,6

12,06

Среднее абсолютное отклонение (MAD)

MAD = ;

Среднеквадратическая ошибка (MSE)

MSE = .

Мы видим, что ошибки не велики, следовательно, прогноз будет достаточно качественным. Дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала. Тенденция, выявленная по прошлым данным, сохраняется и в ближайшем будущем.

Подставляем номера кварталов в формулу и учитываем сезонную вариацию.

Прогноз объема продаж в 12 квартале. Осуществляем прогноз T+S:

2,1+1,1*12-0,3 = 15 (млн. тенге).

Прогноз объема продаж в 13 квартале:

2,1+1,1*13+0,5 = 16,9 (млн. тенге).



следующая страница >>