zabika.ru 1 2 3

Кузнецов Д.Г., 1994, 2002.


Элементарная теория

предела последовательности

Числовые последовательности.
f : N  Xпоследовательность (элементов множества X )

f : N  R  числовая последовательность (последовательность вещественных чисел)

Обозначения

xnn-й член последовательности

(xn)  последовательность

{xn}  множество значений последовательности

xnf(n)формула общего члена последовательности

Примеры

1) последовательность (xn) чётных чисел: xn2n  формула общего члена

x2, x4, x6, x8, ... {xn}  множество чётных натуральных чисел

2) xnx1, x, x, x, ...

Способы задания последовательности.

1. Формулой общего члена.

2. Рекуррентной формулой xnf(), если известны значения x, x, ... ,xk .


Примеры

1) xn3, x0

x, x6, x9, x12, ... ; формула общего члена: xn3(n1)

2) последовательность Фибоначчи (un): un; u1 , u1

u2, u3, u5, u8, u13, u21, ...

3. Словесным описанием.

Примеры

1) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2:

2; 7; 12; 17; 22; ... , формула общего члена: xn5n3

2) последовательность цифр числа : 3; 1; 4; 1; 5; 9; ...

3) последовательность простых чисел
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если все её члены меньше некоторого числа: (xn) ограничена сверху MR | nN: xn<M.

Аналогично определяется ограниченная снизу последовательность:

(xn) ограничена снизу mR | nN: xn>m.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если она является одновременно ограниченной сверху и ограниченной снизу.

Эквивалентные определения ограниченной последовательности:


1) (xn) ограниченна m,MR | nN: m<xn<M;

2) (xn) ограниченна M>0 | nN: |xn|<M.

Примеры

1) xnn ограничена снизу: nN: xn>0

2) xn2n ограничена сверху: nN: xn<1

3) xn  ограниченна: nN: 0<xnm1
Определение. Последовательность xna (aR) называется постоянной последовательностью.
Определение. Последовательность (xn) называется финально постоянной, или устанавливающейся, если она является постоянной, начиная с некоторого номера:

(xn) финально постоянная nN, aR | n>n: xna.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если каждый её член больше предыдущего: (xn) возрастающая nN: xn<.


Эквивалентное определение: (xn) возрастающая n,mN: n<mxn<xm.

Аналогично определяются убывающая, невозрастающая и неубывающая последовательности. Например: (xn) невозрастающая nN: xnl, или

(xn) убывающая n,mN: n<mxn>xm.

Бесконечно малые последовательности.
Определение. Последовательность (n) называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного  (эпсилон) можно указать номер n (вообще говоря, зависящий от ) такой, что каждый член последовательности с номером, большим n, по модулю меньше :

(n)  бесконечно малая 0 n()N| nn: |n|.

Примеры

1) n 0  бесконечно малая, т.к. nN: |n|0  0 n1 | nn: |n|0.

2) n  бесконечно малая. Докажем, что 0 nN| nn: .


Зададимся сколь угодно малым положительным  и положим n1.

Напоминание: [a]kZ | kma<k1  целая часть a.

Тогда по определению целой части (т. к. >0) 

и т. к. n>n: , то , т. е. 0 n1 | nn: .

Теорема. Если последовательность (xn) с натуральными членами возрастает, то последовательность является бесконечно малой: б/м.

Доказательство. {xn}N  xl1; (xn) возр.  xn+1>xn и т. к. xn+1, xnN, то xn+1xnl1 

xnlnm б/м, т. к. 0 n1 | nn: m.


Примеры

1) n  б/м: xn2n возр. и {xn}N  по Теореме б/м.

2) n  б/м  аналогично, и вообще: kN: n  б/м.
Теорема. Сумма бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая.

(n), (n) б/м  (n n) б/м.

Доказательство. (n) б/м 0 nN| nn: |n|; (n) б/м 0 nN| nn: |n|

 >0 nmax{n,n} | nn: |n n| m |n| |n| <  .

Теорема. Разность бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая.

(n), (n) б/м  (n n) б/м.

Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, используя неравенство: |n n| m |n| |n|.

Примеры

1) n  б/м, т. к. n .

2) (n n) б/м  (n) и (n) б/м. Например, nn, nn, nn0  б/м.
Теорема. Бесконечно малая последовательность ограниченна: (n) б/м  (n) огр.

Доказательство. (n) б/м  0, nN| nn: |n|. Положим Amax{,||,||,...,||} 

 nN: |n|mA (<A1)  (n) огр.
Теорема. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности  бесконечно малая последовательность: (n) б/м, (xn) огр.  (xnn) б/м.

Доказательство. (xn) огр. M>0 | nN: |xn|<M; (n) б/м 0 nN| nn: |n|


 0  nN| nn: | xnn|M  (xnn) б/м.

Следствие 1. Произведение бесконечно малых последовательностей  бесконечно малая:

(n), (n) б/м  (nn) б/м.

Доказательство. (n) б/м  (n) огр.  (nn) б/м по Теореме (т. к. (n) б/м).

Следствие 2. Произведение бесконечно малой последовательности и константы  бесконечно малая последовательность: (n) б/м, cR  (cn) б/м.

Доказательство. Непосредственно следует из Теоремы, т. к. xnc  ограниченная.

Пример: nб/м.



следующая страница >>