zabika.ru   1 2 3

Бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность (xn) называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого положительного A найдётся член последовательности, по модулю превосходящий A: (xn) неограниченная A>0 nN| |xn|>A.

Примеры

1) xnn неогр., т. к.
A>0 n[A]1 | |xn|[A]1>A.

2) неогр., т. к.
A>0 n2[A]2 | |xn|2[A]2>A

(членами последовательности (xn) являются числа: 1; 2; 1; 4; 1; 6; 1; 8; 1; 10; 1; ...).

Определение. Последовательность (an) называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного A можно указать номер n (зависящий от A) такой, что каждый член последовательности с номером, большим n, по модулю больше A.

(an)  бесконечно большая A0 n(A)N| nn: |an|.

Примеры

1) an(1)nn б/Б, т. к. A0 n[A]1 | nn: |an|n>[A]1.

2) не является бесконечно большой, т. к. A2| nN n2n1| |xn|1<A.


Лемма. Все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, не равны нулю: (an) б/Б  NN| n>N: an0.

Доказательство. (an) б/Б A0 nN| nn: |an|. Положим A1, Nn: NN| n>N: |an|>1, т. е. an0.

Теорема. Последовательность чисел, обратных членам бесконечно большой последовательности (an), является бесконечно малой.

Доказательство. (an) б/Б 0 nN| nn: |an|. Заметим, что, в силу Леммы,

последовательность определена, начиная с некоторого номера N1, причём nlN.

Имеем: 0 nN| nn:   б/м.

Теорема. Последовательность чисел, обратных членам бесконечно малой последовательности (n), ни один из членов которой не равен нулю, является бесконечно большой:


(n) б/м и nN: n0  б/Б.

Доказательство. (n) б/м  0 nN| nn: |n|  A0 nN| nn:  б/Б.

Предел последовательности.


Определение. Интервал (a, a) называется

-окрестностью точки a (>0).

Обозначение: {xR| a<x<a}
Определение 1. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует такое действительное число a, что в любой сколь угодно малой -окрестности числа a содержатся все члены последовательности, кроме, быть может, конечного их числа.



Это означает, что какую бы -окрестность точки a мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера (вообще говоря, зависящего от ), будут принадлежать этой -окрестности.

(xn) сходится aR| 0 n()N| nn: xn.


Заметим, что xn  |xna|.

Определение 2. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует такое действительное число a, что для любого сколь угодно малого положительного  можно указать номер n (вообще говоря, зависящий от ) такой, что каждый член последовательности с номером, большим n, отличается от a на величину, по модулю меньшую, чем :

(xn) сходится aR| 0 n()N| nn: |xna|.
Теорема. Число a, к которому сходится последовательность (xn), единственно.

(xn) сходится  !aR| 0 nN| nn: |xna|.

Доказательство. От противного. Пусть a,bR| 0 nN| nn: |xna| и |xnb|.

Положим   nN| nn: |xna| |xnb| 2 . Но в силу неравенства треугольника |xna| |xnb| l |xn a (xnb)|  |b a|  противоречие  ab.



Графическая иллюстрация к доказательству теоремы.

Положив  меньшим, чем половина расстояния между a и b, получим, что -окрестности точек a и b не пересекаются, и все, начиная с некоторого номера, члены последовательности (xn) не могут одновременно содержаться в обеих окрестностях.
Определение. Число a, к которому сходится последовательность (xn), называется её пределом.
Обозначения:

xna (xn) сходится к a при n, стремящемся к бесконечности, или

a предел (xn) при n, стремящемся к бесконечности, равен a.

Примеры

1) xnc  c

2) (xn) финально постоянная  (xn) сходится к числу, на котором она устанавливается

3) (n) б/м  0, т. к. 0 nN| nn: |n 0|
Заметим, что, согласно Определению 2, последовательность (xna)  бесконечно малая.

Определение 3. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует такое действительное число a, что последовательность (xna) является бесконечно малой.

Три определения предела последовательности.
1) a 0 n()N| nn: xn.

2) a 0 n()N| nn: |xna|.

3) a (xna)  бесконечно малая.
Замечание 1. В силу Определения 3 любая сходящаяся к a последовательность (xn) представима в виде xnan, где (n)  некоторая бесконечно малая последовательность.

Замечание 2. Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют расходящимися. Например, любая бесконечно большая последовательность расходится (но, разумеется, не каждая расходящаяся последовательность является бесконечно большой  см. Замечание к следующей теореме).

Замечание 3. То, что последовательность (an) является бесконечно большой, с помощью знака предела обозначают так: .

Примеры: 1 5

Теорема. Любая сходящаяся последовательность ограниченна: (xn) сход.  (xn) огр.

Доказательство. (xn) сход. aR| 0 nN| nn: |xna|  xna  axna 

 |xn|a|, |a|}. Положим Mmax{|a|, |a|, |x|, |x|, ..., ||}  nN: |xn|<M

 (xn) огр.

Замечание. Не всякая ограниченная последовательность сходится. Например, xn(1)n

ограниченна (nN: |xnm1). Докажем, что она расходится, т. е. не имеет предела.

aR 0 | nN nn | |xna|. Действительно:

al0  | nN n2n1>n | |xna||1a||a1| и

a<0  | nN n2n>n | |xna||1a||a1|.


Иначе говоря, независимо от расположения на числовой прямой -окрестности с , меньшим 1, бесконечно много членов (xn) останутся вне -окрестности. Значит, согласно Определению 1, никакое действительное a не может служить пределом (xn).

Арифметика пределов.
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, то их сумма, разность и произведение также сходятся, причём соответственно к сумме, разности и произведению пределов (xn) и (yn).

a,  b1) ab ;

2) a b ;

3) a b.

Доказательство. Пусть a и b. Тогда, согласно Определению 3, xnan,

ynbn, где (n), (n)  некоторые бесконечно малые последовательности.

1) xnyna b   ab по Определению 3. Аналогично


2) xnyna b   a b и, наконец,

3) xnyn(an)(bn)ab   a b.
Лемма. Если предел последовательности (yn) не равен нулю, то: 1) начиная с некоторого номера, каждый член последовательности не равен нулю, и можно определить последовательность ;

2) последовательность ограниченна.

b  0  1)NN| n>N: yn0; 2) огр.

Доказательство. 1)b  0  для nN| nn: |yn b| < > |b yn| 

|yn| > |byn| |yn| l | byn yn |  |b|  |yn| > |b|  > 0, т. е. yn0.



Таким образом, N | n>N: yn0, и можно определить последовательность
, начиная с номера N1.
Графическая иллюстрация к доказательству леммы.

Положив  меньшим, чем половина модуля b, получим, что точка 0 лежит вне
-окрестности точки b, а значит, ни один из членов последовательности, начиная с некоторого номера, не может равняться нулю (рисунок  для случая b>0). Согласно Определению 1: nN| nn: ynyn0, т. к. 0.

2) Мы доказали, что если b  0, то NN| n>N: |yn| > <

ограниченна (учитывая, что определена, начиная с номера N1).
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, причём предел (yn) не равен нулю, то их частное сходится к частному их пределов.

a, b  0  .

Замечание. Согласно Лемме, считаем, что последовательность начинается с номера N такого, что для всех nlN выполняется yn0.

Доказательство. По условию xnan, ynbn, где (n), (n) б/м. Докажем, что б/м.


б/м  б/м  .



<< предыдущая страница   следующая страница >>