zabika.ru   1 2 3

Предел и неравенства.

Теорема. Если все (начиная с какого-то номера) члены сходящейся последовательности
1) строго меньше; 2) не превосходят некоторого числа, то её предел не превосходит этого числа:  a, NN| nN : 1) xn < ba m b;

2) xn m ba m b.
Доказательство. От противного. Пусть a > b  для   abnN| nn: |xna|<ab
a xn < a bxn > b противоречит условию xn < b (или xn m b).

Теорема.a, b, nN| nn: 1) xn < yna m b;

2) xn m yna m b.
Доказательство. Рассмотрим последовательность (ynxn).

nn: l0  l0  bal0  amb.

Замечание. Таким образом, при предельном переходе нестрогое неравенство сохраняется, а строгое неравенство превращается в нестрогое.
Теорема.a, b, a < b  nN| nn: xn < yn .

Доказательство. Пусть cR и acb.

Для canN| nn: |xn a| < c axn a < c axn < c.

Для bcnN| nn: |yn b| < b cbyn < b cyn > c.

Положим nmax{n, n}  nn: xn < c < yn , т. е. xn < yn .
Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть a и nN: xn m yn m zn  a.

Доказательство. a  0 nN| nn: |xna|  axn  axn .


a  0 nN| nn: |zna|  zna  zna .

0 nmax{n, n} | nn: a<xnmynmzn<a  a<yn<a  |yna|,

т. е. 0 nN | nn: |yna|  a.

Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема (Вейерштрасса, о сходимости монотонной последовательности).

Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится.

Без доказательства.
Замечания.

1) Доказательство теоремы выходит за рамки изложенной элементарной теории предела последовательности. Необходимо более точно определить множество действительных чисел.

2) Можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для невозрастающих последовательностей. Достаточным условием сходимости невозрастающей последовательности является её ограниченность снизу: невозр. (xn) огр. снизу  (xn) сход.

3) Возрастающая последовательность является неубывающей, и теорема верна и для строго монотонных последовательностей: возр. (xn) огр. сверху  (xn) сход.

Аналогично: убыв. (xn) огр. снизу  (xn) сход.

4) Условие ограниченности является, разумеется, необходимым для сходимости. Можно сформулировать критерий сходимости монотонной последовательности: неубывающая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху.


Аналогично: невозр. (xn) сход.  (xn) огр. снизу.

Примеры

1) xn ограничена снизу: xn>0. Докажем, что (xn) не возрастает.

xn m xnm  (n 1) m nn 1 m 2nn l 1  верно, т. к. nN.

(xn) не возрастает и ограничена снизу  (xn) сходится по Теореме Вейерштрасса.
2) xn , где 0 < q < 1, убывает и ограниченна . Значит, по
Теореме Вейерштрасса a. Заметим, что для любой

сходящейся последовательности (xn) (()  последовательность чисел x, x, x, ... ),

т. к. отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на её
сходимость к определённому числу.

qqa aa(q  1)  0  a  0, т. к. q < 1.

Итак, последовательность xn (0 < q < 1) бесконечно малая.

0 (0 < q < 1)  0 nN| nn: ||.

Рассмотрим теперь последовательность yn , где 1 < q < 0. Ясно, что | yn | 
 ||  | xn |, поэтому 0 nN| nn: | yn |  0 (1 < q < 0).

Очевидно, 0 при q  0. Таким образом, мы доказали, что 0 при |q| < 1.

Замечание. Если 0, то 0  это непосредственно следует из определения бесконечно малой последовательности. Последовательности, сходящиеся к отличному от нуля числу, этим свойством, вообще говоря, не обладают. Например, 1, но последовательность xn  расходится.


Числовой ряд (определение).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Определения.

Пусть (an)  некоторая числовая последовательность.

a a a a . . .an  . . . числовой ряд.

ann-й член ряда.

(an)  последовательность общего члена ряда.

sna a a . . .ann-я частичная сумма ряда.

(sn)  последовательность частичных сумм ряда.

называется расходящимся, если (sn) расходится.

называется сходящимся, если (sn) сходится.

sR называется суммой ряда (сходящегося), если s.

То, что ряд сходится к числу s, обозначают так: s.

Примеры

,  сходящиеся ряды .

, (гармонический ряд)  расходящиеся ряды.

Утверждение (необходимое условие сходимости ряда).

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

сход.  0.

Без доказательства.
Определение. Геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, называется бесконечно убывающей (по модулю).

bn, где |q| < 1,  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Утверждение. Числовой ряд, составленный из элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b и знаменателем q, сходится к числу .

bn, |q| < 1  .

Доказательство. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии с
первым членом b и знаменателем q составим последовательность частичных сумм
ряда:

sn  , т. к. 0 при |q| < 1 и

0 (произведение постоянной и бесконечно малой).

Итак,  .
Пример

1 .



<< предыдущая страница