zabika.ru 1 2 ... 6 7

Тема 2 Определенный интеграл

Практическое занятие 1 Формула Ньютона-Лейбница
1.1 Определение интеграла Римана

1.2 Критерий интегрируемости Дарбу

1.3 Основные свойства определенного интеграла

1.4 Формула Ньютона-Лейбница
1.1 Определение интеграла Римана

Пусть функция определена и ограничена на отрезке , . И пусть – разбиение отрезка на частичных отрезков , , точками (рисунок 1.1): . Тогда – длина частичного отрезка , .


Рисунок 1.1 – Определение интеграла Римана
На каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму:

. (1.1)

Сумма (1.1) называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения , называемая диаметром разбиения


.

Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует конечный предел при интегральной суммы (1.1):

(1.2)

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке и обозначается :

= .

Выражение называется подынтегральным выражением, подынтегральной функцией, переменной интегрирования, и – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается .

Определение интеграла Римана на языке - формулируется следующим образом.

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого существует такое , что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого , и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство


.

Интегральная сумма не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т.е. определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Обозначение определенного интеграла похоже на обозначение неопределенного интеграла от той же функции . Вычисление определенного интеграла сводится к вычислению неопределенного интеграла от той же подынтегральной функции (п.1.4). Однако между определенным и неопределенным интегралами имеется существенное различие: определенный интеграл от функции на отрезке есть некоторое число, в то время как неопределенный интеграл представляет собой множество всех первообразных функций данной функции на отрезке .

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости) Если существует, то функция ограничена на отрезке .
1.2 Критерий интегрируемости Дарбу

Пусть функция определена на отрезке , . Для произвольного разбиения отрезка обозначим и .


Нижней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

Верхней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

Если функция ограничена, то нижние и верхние грани конечны. Тогда суммы Дарбу и при любом разбиении принимают конечные значения.

Нижним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее нижних сумм Дарбу :

.

Верхним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее верхних сумм Дарбу :

.

Очевидно, что .

Теорема 2 (Критерий Дарбу) Для того чтобы функция , ограниченная на отрезке , была интегрируема по Риману на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу удовлетворяли условию

.

Следствия. 1 Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы


,

где = – колебание функции на частичном отрезке разбиения , .

2 Если функция была интегрируема по Риману на отрезке и , – ее суммы Дарбу, то

.

Теорема 3 Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 4 Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
1.3 Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

– если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:

;

– если, то ;

– при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

;

– постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

;


– определенный интеграл от суммы (разности) конечного числа интегрируемых на функций , , …, равен сумме (разности) определенных интегралов от слагаемых:

;

(аддитивность) если существуют интегралы и , то существует также интеграл и справедливо равенство:

, .

Геометрический смысл свойства аддитивности состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и (рисунок 1.2);






Рисунок 1.2 – Геометрический смысл свойства аддитивности

Рисунок 1.3– Геометрический смысл свойства монотонности


(интегрирование неравенств) если , то

, ;

(монотонность) если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то


, .

Геометрическая интерпретация данного свойства: площадь криволинейной трапеции не меньше площади криволинейной трапеции (рисунок 1.3);

– если функция интегрируема на отрезке , то и функция также интегрируема на этом отрезке и

;

– если и соответственно наименьшее и наибольшее значения функции , непрерывной на отрезке , то справедливо неравенство:

; (1.3)

Геометрический смысл заключается в том, что площадь прямоугольника равна , площадь прямоугольника равна , а площадь криволинейной трапеции не меньше площади первого прямоугольника и не больше площади второго (рисунок 1.4).








Рисунок 1.4 – Геометрический смысл неравенства (1.3)

Рисунок 1.5 – Геометрический смысл неравенства (1.4)


– если функция непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что

. (1.4)

Число , называется интегральным средним значением функции на отрезке .

Геометрически данное свойство означает, что существует такая точка , для которой площадь прямоугольника равна площади криволинейной трапеции .


следующая страница >>