zabika.ru 1 2 3

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Электрические цепи служат для передачи, изменения и преобразования проходящих через них сигналов. Элементы, из которых состоят все электрические цепи, можно разделить на пассивные и активные. Пассивными называют такие элементы электрической цепи, которые не могут увеличивать энергию действующего в этой цепи сигнала. К ним относятся сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Активные же элементы могут увеличивать энергию сигнала.

Все элементы радиоэлектронных цепей, кроме того, подразделяются на элементы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Если линейные размеры элементов намного меньше длины волны действующего в цепи сигнала, то они являются элементами с сосредоточенными параметрами. В противном случае мы имеем дело с элементами с распределенными параметрами.

Электрические цепи можно разделить на два больших класса: линейные и нелинейные. Цепь называется линейной, если ее параметры не зависят от приложенного напряжения и протекающего в ней тока.

Очень часто какую-либо линейную или нелинейную электрическую цепь, составленную из пассивных и активных элементов, удобно рассматривать в виде четырехполюсника, имеющего четыре доступных вывода (рис. 2.1). Два из них при этом образуют вход данной цепи, а два других – выход. К входным выводам может подключаться источник сигнала, а к выходным – нагрузка.
2.1. Основные свойства линейных цепей
Свойство 1. Процессы в линейных цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Приведем пример такой цепи. Если имеется простая последовательная цепь, состоящая из сосредоточенных пассивных элементов, а именно сопротивления R, индуктивности L и емкости C, а также источника эдс e(t) (рис. 2.2), то процессы в ней описываются следующим интегродифференциальным уравнением , так как напряжения на сопротивлении, индуктивности и емкости соответственно равны , и . После дифференцирования обеих частей этого уравнения получим






,

(2.1)

что соответствует сформулированному выше свойству.

Известно, что систему из n дифференциальных уравнений первого порядка можно заменить одним дифференциальным уравнением n-го порядка. В силу этого, для сложной цепи, состоящей из n простых цепей, справедливо уравнение




,

(2.2)

где f(t) – некоторое внешнее воздействие.

Если в уравнении (2.2) все коэффициенты an являются постоянными, то это уравнение описывает линейную систему с постоянными параметрами.

Если хотя бы один из коэффициентов an является функцией времени, то уравнение (2.2) будет характеризовать систему с переменными параметрами или параметрическую цепь.

Если хотя бы один из коэффициентов an является функцией тока (или напряжения, если уравнение записано относительно переменной u), то мы будем иметь нелинейную систему.

Свойство линейности элементов можно истолковать как результат линейности их вольтамперных характеристик на определенной частоте (=const).

Свойство 2. Для линейных цепей справедлив принцип независимости при наложении внешних воздействий или, другими словами, принцип суперпозиции.

Этот принцип можно проиллюстрировать следующим образом. Если к линейной системе приложить несколько внешних воздействий fi(t), где i=1, 2, 3, …, то поведение такой системы можно описать путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждого из воздействий в отдельности. Для простоты рассмотрим цепь, которая при заданном значении f1(t) описывается простым уравнением





,

(2.3)

а решением этого уравнения является некоторая функция y1(t), где под y(t) понимается величина тока, напряжения или заряда.

При приложении к этой же системе воздействия f2(t) процессы в ней будут описываться уравнением




,

(2.4)

а его решением будет функция y2(t).

При одновременном действии на систему двух воздействий f1(t) и f2(t) соответствующее уравнение будет иметь вид




.

(2.5)

Решением его будет некоторая функция y3(t).

Если система линейна, то должно выполняться соотношение




y3(t)=y1(t)+y2(t).

(2.6)

Если же система нелинейна, то




y3(t)y1(t)+y2(t).

(2.7)

Свойство 3. В линейных системах не происходит преобразования спектра частот.

Это свойство является следствием того, что операции интегрирования и дифференцирования являются линейными. Так для цепи, изображенной на рис. 2.2, воздействие f(t)=е(t) будет описываться тремя слагаемыми, линейно связанными протекающими по цепи токами с падениями напряжений на резисторе, индуктивности и емкости. Тогда, если, например,




,




то






(2.8)




,

(2.9)




.

(2.10)

В случае сложного характера функции f(t), последняя разлагается на элементарные составляющие в ряд Фурье, и на основании вышеизложенного каждая из составляющих даст решение с одной и той же постоянной частотой.


С другой стороны, в нелинейных цепях, которые будут рассмотрены в четвертой главе курса, всегда происходит преобразование спектра частот сигнала. Это же утверждение справедливо и для параметрических цепей. При этом в нелинейной системе структура преобразованного сигнала зависит не только от времени, но и от амплитуды. Если, например, u3=u1+u2, то i3i1+i2 (рис. 2.3).
2.2. Дифференцирующие цепи
С помощью простейших RC- и RL-цепей (рис. 2.4) можно проводить дифференцирование сигналов.

Пусть на вход RC-цепи (рис. 2.4 а) подан сигнал Uвх. Тогда но , а UR=Ri и, следовательно,




.

(2.11)

Умножая числитель и знаменатель первого слагаемого в правой части уравнения (2.11) на R и учитывая, что напряжение на выходе Uвых=UR, получим





.

(2.12)

Обозначая далее постоянную времени данной цепи RC=, а затем дифференцируя обе части уравнения (2.12) по времени t, получим





.

(2.13)

При условии, что , (это справедливо, когда  достаточно мала), на основании равенства (2.13) будем иметь




,

(2.14)

из чего следует, что выходное напряжение пропорционально производной от входного, т. е. имеет место операция дифференцирования входного сигнала.

Если положить, что  очень велика и значением по сравнению с величиной можно пренебречь, то на основании соотношения (2.13) получим , откуда Uвых=Uвх, и RC-цепь в этих условиях становится переходной, т. е. такой цепью, проходя через которую сигнал на ее выходе повторяет входной. Эта цепь может использоваться, например, для связи между отдельными каскадами многокаскадного усилителя.

Из сказанного выше видно, что дифференцирование будет тем точнее, чем меньше постоянная времени цепи =RC. Но уменьшение постоянной времени , как следует из выражения (2.14), ведет к уменьшению величины напряжения на выходе цепи, поэтому идеальное дифференцирование с ее помощью невозможно. Условием приближенного дифференцирования, в частности, в случае прямоугольного импульса будет неравенство <<tи, где tи – длительность дифференцируемого импульса.


Дифференцирующую цепь называют также обостряющей или укорачивающей, так как длительность выходных импульсов меньше длительности входных, а их вершина является острой (см. рис. 2.7). Как видно из этого рисунка, при определении длительности продифференцированных импульсов появляется некоторая неопределенность. Если же длительность импульса определять на уровне 0,5Um, где Um – его амплитуда, то справедливо равенство откуда , и тогда длительность импульса по уровню 0,5 будет равна






(2.15)

Формула (2.15) может быть использована при экспериментальном определении постоянной времени  цепи.

Выражение для комплексного коэффициента передачи дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 2.4 а, имеет вид



(2.16)

При этом модуль коэффициента передачи рассматриваемой цепи или, другими словами, ее амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) выразится как




.

(2.17)

Фазовый сдвиг между напряжением на входе и выходным напряжением или фазо-частотная характеристика (ФЧХ) дифференцирующей цепи определяется формулой





.

(2.18)

А
налогичными характеристиками обладает и RL-цепь, изображенная на рис. 2.4 б, постоянная времени которой =L/R. Графики функций (2.17) и (2.18) представлены на рис. 2.5.

Если на вход дифференцирующей цепи подать единичный скачок напряжения Uвх(t)=(t) (рис. 2.6 а), то в этом случае можно получить так называемую переходную характеристику h(t) (рис. 2.6 б) этой цепи, представляющую собой зависимость сигнала на выходе цепи при единичном скачке напряжения на ее входе




.

(2.19)

П
ри воздействии на дифференцирующую цепь сигнала прямоугольной формы на выходе получается напряжение, частный случай которого представлен на рис. 2.7. Вид напряжения на выходе определяется постоянной времени =RC.

2.3. Интегрирующие цепи
На рис. 2.8 изображены простейшие RC- и RL-интегрирующие цепи.

Р
ассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.8 а. В данном случае выходной сигнал снимается с емкости и уравнение, описывающее рассматриваемую цепь Uвх=Ri+Uвых, можно представить в виде




.

(2.20)

Пусть в равенстве (2.20)  велика так, что . Тогда будем иметь , откуда




,

(2.21)

т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного, и поэтому с помощью данной цепи может выполняться операция интегрирования.

Если же в равенстве (2.20) положить, что  мала, и имеет место соотношение , то можем записать, что




.

(2.22)

В этих условиях цепь называется переходной, т. к. выходной сигнал повторяет входной.

Как следует из выражения (2.20), интегрирование происходит тем точнее, чем больше постоянная времени . Но увеличение постоянной времени =RC, как видно из выражения (2.21), ведет к уменьшению величины выходного напряжения, поэтому идеально точное интегрирование с помощью рассмотренной выше цепи невозможно. В случае, например, приближенного интегрирования прямоугольного импульса должно выполняться неравенство tи<<.

Комплексный коэффициент передачи напряжения интегрирующей RC-цепи (рис. 2.8 а) можно представить в виде




(2.23)

АЧХ цепи будет иметь вид

.

(2.24)

ФЧХ цепи определяется выражением

.

(2.25)

Графики функций (2.24) и (2.25) представлены на рис. 2.9.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь с постоянной времени =L/R, изображенная на рис. 2.8 б.

Переходная характеристика интегрирующей цепи получается интегрированием выражения (2.20) при Uвх=(t) и имеет вид:

.

(2.26)

П
ример интегрирования прямоугольного импульса представлен на рис. 2.10. Форма напряжения на выходе интегрирующей цепи определяется, как и в случае дифференцирующей цепи, постоянной времени .

2.4. Колебательные контуры.

Свободные колебания в контуре

В различных радиотехнических устройствах, в частности, в радиоприемных, одной из важнейших операций является выделение полезного сигнала из всевозможных побочных сигналов и помех. Эти функции выполняются электрическими колебательными системами, основным элементом которых является колебательный контур. При изучении свойств колебательного контура главное внимание обращается на его резонансные свойства, которые и определяют его частотную избирательность. В зависимости от способа включения элементов колебательного контура индуктивности L и емкости С по отношению к внешнему источнику возбуждения различают последовательный и параллельный колебательные контуры.


При отсутствии внешнего возбуждения в колебательном контуре с первоначально запасенной энергией электрического поля в конденсаторе или магнитного поля в индуктивности возможно существование свободных колебаний.

Р
ассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из индуктивности L, емкости C и активного сопротивления R (рис. 2.11). Если предварительно зарядить конденсатор C, а затем в начальный момент времени t=0 замкнуть его на цепь, состоящую из последовательно включенных элементов L и R, то в таком контуре будет идти процесс периодического преобразования электрической энергии в магнитную и наоборот. В этом случае функция, описывающая внешнее воздействие при любых t 0, равна нулю и уравнение Кирхгофа для такой цепи имеет вид

. (2.27)

После дифференцирования обеих частей соотношения (2.27) по времени и деления на L приходим к следующему дифференциальному уравнению для тока в контуре

. (2.28)

Введем следующие параметры:




или .

(2.29)

Тогда с учетом соотношений (2.29) уравнение (2.28) принимает вид




.

(2.30)

Решение этого дифференциального уравнения будем искать в виде




,

(2.31)

где Z – некоторая новая переменная. Подстановка решения (2.31) в (2.30) приводит к следующему уравнению:






(2.32)

Обозначим






(2.33)

С учетом обозначения (2.33) дифференциальное уравнение (2.32) принимает вид






(2.34)

Как известно, решением колебательного уравнения (2.34) является функция вида




(2.35)

После подстановки этого решения в выражение (2.31) для тока І получим окончательно






(2.36)

Из уравнения (2.36) следует, что ток в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону, причем его амплитуда с течением времени непрерывно уменьшается. Затухание амплитуды тока аналитически описывается множителем e-t. Скорость затухания собственных колебаний в контуре можно охарактеризовать отношением амплитуд тока в некоторые моменты времени t1 и t1+T, отстоящих друг от друга на период колебаний Т (рис. 2.12).

И
спользуя формулу (2.36), находим это отношение

. (2.37)

Натуральный логарифм выражения (2.37) носит название логарифмического декремента затухания контура, и для контура с малыми потерями будет иметь вид

(2.38)

где – волновое или характеристическое сопротивление контура.

На практике вместо логарифмического декремента затухания (2.38) часто используется пропорциональная ему величина – затухание d




(2.39)

где параметр Q, равный




Q=/R,

(2.40)

называется добротностью контура.

С энергетической точки зрения добротность контура характеризует отношение запасенной электромагнитной энергии контура при резонансе к средней энергии, теряемой в этом режиме на активном сопротивлении контура за один период изменения тока.

Добротность Q контура с малым затуханием можно оценить путем подсчета по осциллограмме числа периодов свободных колебаний в контуре m за интервал времени, в течение которого амплитуда собственных колебаний контура уменьшается, например, в два раза. Тогда согласно соотношению (2.37) или e=2, откуда mТ=ln2. При этом логарифмический декремент затухания  на основании формулы (2.38) будет равен =T=ln2/m, а затухание d выразится как d=/=ln2/m. Отсюда добротность контура будет равна




.

(2.41)



следующая страница >>