zabika.ru   1 2

Решение систем линейных уравнений

I Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть задана система линейных уравнений



Неизвестные x1, x2, … , xn вычисляются по формулам:



 – определитель матрицы А,

iопределитель матрица, полученный из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

, , , ,

.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.



Запишем в табличном процессоре Microsoft Office Excel 2007 матрицы, которые понадобятся нам при вычислениях (рис. 43).



Рис. 1. Исходные данные

Найдем определители , 1, 2, и 3, используя математическую функцию МОПРЕД (рис. 44).



Рис. 2. Вычисление определителей
Корни уравнения найдем по формулам:

В результате всех вычислений должны получиться следующие данные:




Рис. 3. Вычисление корней системы уравнений

II Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система линейных уравнений



Эту систему можно представить в матричном виде: А·Х=В, где

, , .

Умножим систему линейных алгебраических уравнений А·Х=В слева на матрицу, обратную к А. Тогда система уравнений примет вид:

А-1·А·Х=А-1·В.

Так как А-1·А=Е (единичная матрица), то получим Е·Х=А-1·В.

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле: Х=А-1·В.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений матричным методом.



Запишем в табличном процессоре матрицу А и столбец свободных
членов В (рис. 46).



Рис. 4. Исходные данные

Нам необходимо найти обратную матрицу А-1, для этого:


  1. выделите диапазон ячеек В8:D10;

  2. вызовите функцию МОБР;
  3. в появившемся диалоговом окне заполните поле ввода Матрица. Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица, то есть В2:D4, нажмите кнопку ОК;


  4. В первой ячейке выделенного диапазона появиться некоторое число. Чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2, для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис. 47).



Рис. 5. Обратная матрица

Осталось найти вектор неизвестных по формуле Х=А-1·В, для этого:

  1. выделите диапазон ячеек G8:G10;

  2. вызовите функцию МУМНОЖ;

  3. в поле для первой матрицы укажите диапазон В8:D10;

  4. в поле для второй матрицы укажите диапазон G2:G4;

  5. нажмите кнопку ОК.

В результате должны получиться следующие значения:



Рис. 6. Вычисление корней системы уравнений

Самостоятельно сделайте проверку, для этого умножьте матрицу А на Х. В результате должен получиться столбец В.


<< предыдущая страница