zabika.ru 1 2 3

Проведение обработки результатов эксперимента


Любой эксперимент, связанный с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений, вносящими элемент неопределенности в результат эксперимента. В связи с этим порядок проведения опытов должен быть выбран таким, чтобы имелась возможность оценить случайную ошибку эксперимента и избежать влияния возможных систематических ошибок. Постановка повторных или параллельных опытов полностью не исключает неопределенность, так как они проводятся также с погрешностью воспроизводимости. Выделить ошибку эксперимента, оцениваемую с помощью дисперсии ошибки, возможно только при дублировании опытов повторением m раз каждой строки матрицы планирования.

Сделать случайными мешающие факторы, действие которых может иметь систематический характер, позволяет принцип рандомизации, применяемый при реализации матрицы планирования эксперимента.

Перед проведением опытов на объекте следует определить возможные факторы, мешающие исследованию, и провести рандомизацию порядка проведения опытов с тем, чтобы эти факторы влияли на результаты эксперимента случайным образом.

Рандомизацию следует проводить следующим образом: в таблице равномерно распределенных случайных чисел выбирается некоторый столбец, из которого в порядке их следования берутся числа от 1 до 4m и записываются в столбцы, определяющие порядок следования опытов kim матрицы планирования. Пусть, например, при i=2 k21=4. Это значит, что вторая строка варьирования реализуется четвертой по порядку. При этом мешающий фактор при случайном порядке проведения опытов не будет вызывать систематической ошибки.

Например, для двухфакторного эксперимента

Номер опыта


Порядок проведения

Матрица планирования

Результаты проведения

i

ki1

ki2



kil



kim

x0

x1

x2

x1 x2

yi1

yi2



yil



yim





1

k11

k12



k1l



k1m

+1

–1

–1

+1

y11

y12



y1l



y1m



2

k21

k22



k2l



k2m

+1

+1

–1

–1

y21

y22



y2l



y2m





3

k31

k32



k3l



k3m

+1

–1

+1

–1

y31

y32



y3l



y3m





4

k41


k42



k4l



k4m

+1

+1

+1

+1

y41

y42



y4l



y4m





Почему рандомизация опытов важна, мы попытаемся показать на следующем примере.

Рассмотрим матрицу 23, полученную из матрицы 22 обычным способом: два раза повторен план 22, причем в первых четырех опытах x3 имеет верхнее значение, а в последних четырех опытах – нижнее значение. Допустим, что экспериментатор может поставить в первый день четыре опыта и во второй день также четыре опыта.

Можно ли опыты ставить подряд и в первый день реализовать опыты № 1, 2, 3 и 4, а во второй – 5, 6, 7 и 8? Ставя опыты подряд, вы разбиваете матрицу на две части или на два блока: в первый блок – входят опыты № 1, 2, 3 и 4, во второй – № 5, 6, 7 и 8. Если внешние условия первого дня каким-то образом отличались от внешних условий второго дня, то это способствовало возникновению некоторой систематической ошибки. Обозначим эту ошибку ε. Тогда четыре значения параметра оптимизации сдвинуты на величину ε по сравнению с истинными значениями. Пусть это будут параметры, входящие в первый блок: y1+ε, y2+ε, y3+ε, y4+ε. Однако матрица построена так, что в первом блоке значения х3 находятся на верхнем уровне, а во втором – на нижнем уровне. Тогда при подсчете b3 получится следующая картина:


b3=[(y1+ε)+(y2+ε)+(y3+ε)+(y4+ε)–y5–y6–y7–y8]→β3+.

где β3 – истинное значение коэффициента при х3. Таким образом, возможное различие во внешних условиях смешалось с величиной линейного коэффициента b3 и исказило это значение. В такой последовательности опыты ставить нельзя. Опыты нужно рандомизировать во времени, т.е. придать последовательности опытов случайный характер.

Приведем простой пример рандомизации условий эксперимента. В полном факторном эксперименте 23 предполагается каждое значение параметра оптимизации определять по двум параллельным опытам. Нужно случайно расположить всего 16 опытов. Присвоим параллельным опытам номера с 9 по 16, и тогда опыт № 9 будет повторным по отношению к первому опыту, десятый – ко второму и т. д. Следующий этап рандомизации – использование таблицы случайных чисел. Обычно таблица случайных чисел приводится в руководствах по математической статистике. В случайном месте таблицы выписываются числа с 1 по 16 с отбрасыванием чисел больше 16 и уже выписанных. В нашем случае, начиная с четвертого столбца, можно получить такую последовательность:

2; 15; 9; 5; 12; 14; 8; 13; 16; 1; 3; 7; 4; 6; 11; 10.

Это значит, что первым реализуется опыт № 2, вторым – опыт № 7 и т.д. Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать.

Если экспериментатор располагает сведениями о предстоящих изменениях внешней среды, сырья, аппаратуры и т. п., то целесообразно планировать эксперимент таким образом, чтобы эффект влияния внешних условий был смешан с определенным взаимодействием, которое не жалко потерять. Так, при наличии двух партий сырья матрицу 23 можно разбить на два блока таким образом, чтобы эффект сырья сказался на величине трехфакторного взаимодействия. Тогда все линейные коэффициенты и парные взаимодействия будут освобождены от влияния неоднородности сырья (табл.).


В этой матрице при составлении блока 1 отобраны все строки, для которых х1х2х3=+1, а при составлении блока 2 – все строки, для которых х1х2х3=–1. Различие в сырье можно рассматривать как новый фактор x4. Тогда матрица 23, разбитая на два блока, представляет собой полуреплику 24–1 с определяющим контрастом 1=х1х2х3x4.



x0

x1

х2

х3

х1х2

х1х3

х2х3

х1х2х3

y

1

+





+

+





+

y1

+

+









+

+

y2


+



+





+



+

y3

+

+

+

+

+

+

+

+

y4

2

+







+

+

+



y5

+

+



+



+





y6

+



+

+





+



y7

+


+

+



+







y8

Эффект сырья отразился на подсчете свободного члена b0 и эффекта взаимодействия второго порядка b123. Аналогично можно разбить на два блока любой эксперимент типа 2k. Главное – правильно выбрать взаимодействие, которым можно безболезненно пожертвовать. При отсутствии априорных сведений выбирают взаимодействие самого высокого порядка.

При необходимости разбиения матрицы на большее количество блоков применяют блочное планирование, например планирование по типу латинского квадрата и пр.

Результаты эксперимента для каждой строки опытов записываются в столбцы


следующая страница >>