zabika.ru 1

Логические операции над высказываними.


  1. Отрицание

Отрицанием высказыванием х называется новое высказывание,которое является истинным,если х ложно и ложным,если х истинно.

Читается отрицание как «не х»,и обозначается след. Образом: ( икс с черточкой наверху)

Логические значения отрицания можно записать след. Таблицей:

{таблица истинности для отрицания}

Отрицание является унарной операцией,т.е. она имеет 1 операнд.

Дважды отрицав высказывание мы получим тоже высказывание:

«Не может река Ангара не вытекать из Озера»= «Река Ангара вытекает из озера»

2)Конъюнкция(логическое умножение)

Конъюнкция 2х высказываний х И у называется новое высказывание ,которое считается истинным,если оба высказывания истинные и ложные,если хотя бы 1 ложное.

Читается конъюнкция как «х и у», и обозначается следующим образом: x&y

Логические значения конъюнкции можно записать таблицей:

{таблица истинности для конъюнкции}

Из определения операции конъюнкции следует,что союз И в алгебре логики употребляется в том же смысле,что и в повседневной речи. Но в обыденной речи не принято соединять союзом И два абсолютно разных высказывания,а в алгебре логики рассматриваются высказывания самых разных понятий.

Из определения конъюнкции и отрицания следует,что:

x&x(c отрицанием)=0

3)Дизъюнкция(логическое сложение)

Дизъюнкцией 2х высказываний х и у называется новое высказывание,которое считается истинным,если хотя бы один элемент истинный и считается ложным,когда оба высказывания ложны.

{таблица истинности для дизъюнкции}

В повседневной речи союз ИЛИ потребляется (не)исключающем смысле,а в алгебре логики союз ИЛИ всегда употребляется в неисключающем смысле.

Из определения дизъюнкции и отрицания следует,что:

x v x(c отрицанием)=1


4)Импликация

Импликацией 2х высказываний х и у называется новое высказывание,которое если считается ложным,если х=1 и у=0, и истинным в остальных случаях.

х->у читается как: «из х следует у» и «если х,то у»;

{таблица истинности для импликации}


Высказывание х в импликации называется условием или посылкой,а высказывание у следствием или заключением.

Употребление связки «если х,то у» отличается в алгебре логики от обыденной речи. В обыденной речи как правило считается,что если х=0,то высказывание х->у не имеет смысл.

Кроме того,строя предложения х->у в обыденной речи всегда подразумевается,что из у вытекает х,в алгебре логики все это не требуется,т.к. в смысл высказывания в математической логике игнорируется.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах,т.к. многие теоремы имеют вид х->у,при этом,если известно,что х=1 и доказана истинность импликации,то можно сделать вывод об истинном у.

5)Эквивалентность

Эквивалентностью 2х высказываний х и у назыавется новое высказывание,которое считается истинным,если оба высказывания истинны или ложны,и ложным во всех остальных случаях.

х<->у. Читается как: «Для того,чтобы х необходимо и достаточно у», «х тогда и только тогда,когда у».

{таблица истинности для эквивалентности}

Эквивалентность,как и импликация,играет большую роль в математических доказательствах. Большое число теорем строится в виде условий,т.е. в форме эквивалентности,а раз так,то зная об истинности или ложности 1 члена эквивалентности,доказав истинность самой эквивалентности,то можно сделать вывод об истинности и ложности эквивалентности.