zabika.ru 1


ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.


Чтобы не забыть доказательство этой теоремы, предлагаю рисунок – опорный сигнал (рис. 14) и, думаю, он надолго останется в вашей памяти.

Рис. 14
Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли.

На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.

Вспомнив этот рисунок, вы вспомните дополнительное построение и начало доказательства теоремы.


Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).




Рис. 13

Дано:
Δ АВС, угол С = 90°.

Доказать: АВ2 = АС2 + ВС2.
Доказательство
Проведём высоту CD из вершины прямого угла С.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому

в Δ ACD   cos A = AD / AC,

а в Δ АВС   cos А = AC / AB.

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,

AD / AC = AC / AB.

Отсюда, по свойству пропорции, получаем: АС2 = AD · АВ. (1)
Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении с2 = а2 + b2.

Решим устно задачу по готовому чертежу:

Задача №1

Рис. 16

Решение

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16),

по теореме Пифагора: DE2 = 2 + CE2,

DC2 = DE2CE2,

DC2 = 52 – 32,

DC2 = 25 – 9,

DC2 = 16,

DC = 4.

Ответ: DC = 4


Аналогично,

в Δ ВCD   cos В = BD / BC,

а в Δ АВС   cos В = BC / AB.


Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,
BD / BC = BC / AB.
Отсюда, по свойству пропорции, получаем:

ВС2 = ВD · АВ. (2)

Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:
АС2 + ВС2 = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD).

Так как

AD + BD = АВ,

то

АС2 + ВС2 = AB · AB = AB2.

Получили, что

АВ2 = АС2 + ВС2.

Итак,

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
Ч.т.д.

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…