zabika.ru 1
Резонанс напряжений

Это явление наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Условием резонанса напряжения является:

(1)

где Z представляет собой полное комплексное сопротивление цепи.

Исследование резонанса напряжений будем проводить на примере простейшей цепи с последовательным соединением r, L, C так называемого последовательного колебательного контура (Рис.1).



Комплексное сопротивление этой цепи равно:



В соответствии с (1) резонанс напряжений наступает цепи, если:

(2)

Из последнего выражения определяется так называемая резонансная частота, то есть частота, при которой в рассматриваемой цепи возникает резонанс напряжений:

(3)

Выражение для амплитуды тока в последовательном колебательном контуре выглядит следующим образом:



В режиме резонанса напряжения , | Z| достигает минимума, равного r, а амплитуда тока достигает максимума и становиться равной I0:


В контурах с малыми потерями при амплитуда тока может достигать весьма больших усилений. Это и объясняет то обстоятельство, что рассматриваемый режим работы цепи получил название резонанса.


Комплексные амплитуды напряжения на индуктивности и емкости на резонансе соответственно равны:



(4)

Так как в режиме резонанса напряжения в соответствии с (2) индуктивное и емкостное сопротивления равны, то из (4) следует:



Что иллюстрируется векторной диаграммой, изображенной на рис.2:



Такое соотношение, которое устанавливается между и в режиме резонанса напряжений объясняет наличие термина «напряжений» в названии данного режима.

Следствием равенства , является тот факт, что напряжение на участке цепи LC в резонансе напряжений:



Последнее равенство свидетельствует о весьма интересной картине, когда напряжение на отдельных элементах цепи (в данном случае на L и C) существует, а на участке цепи, содержащем их последовательное соединение равно нулю.

Таким образом, в режиме резонанса напряжений эквивалентная схема цепи, изображенной на рис.1, выглядит следующим образом (Рис.3).



Это же непосредственно следует из равенства (2), иллюстрирующее условие резонанса напряжений: реактивная часть комплексного сопротивления цепи в этом случае обращается в ноль.
Энергетические соотношения при резонансе напряжений

Рассмотрим вопрос о распределении энергии между элементами электрической цепи Рис.1 в режиме резонанса напряжений.


Пусть в этом режиме ток в цепи выражается как:



Соответственно напряжение на емкости:



Мгновенные значения энергии магнитного и электрического полей соответственно равны:



(5)

Покажем что при резонансе напряжений максимумы энергии магнитного поля в индуктивном и электрического поля в емкости равны.

В самом деле рассмотрим разность:



Так как при резонансе напряжений вынесем за скобки :

(6)

В рассматриваемом режиме, как было показано выше, между величинами и существует соотношение: . Так как , а , из этого следует, что в резонансе напряжений . Принимая это во внимание, а так же, что , можно заключить, что как следует из (6)


,

что и доказывает искомое утверждение.

На рис.4 изображены зависимости величин WL и WC от времени t.



Как следует из рис.4 при резонансе напряжений происходит непрерывное перераспределение энергии (энергообмен) магнитного поля в индуктивности и энергии электрического поля в емкости. При этом суммарная энергия:



Таким образом, в режиме резонанса напряжений периодически происходит равный энергообмен между индуктивным и емкостным элементом, когда энергия, первоначально накоплена в контуре, «колеблется» между L и C , без участия в этом процессе источника. При этом вся электрическая энергия, поступающая в цепь в режиме резонанса напряжений, расходуется в сопротивлении. Для контура без потерь (r=0) в режиме резонанса в цепь не поступала бы энергия от источника.
Частотные характеристики последовательного колебательного контура
Комплексное сопротивление последовательного контура (рис.1) можно представить в следующем виде:

(7)

С другой стороны , а , где φ – фазовый сдвиг тока относительно приложенного напряжения. В соответствии с (7):

(8)

Последнее выражение называется фазо-частотной или фазовой характеристикой (ФЧХ).

Эта же зависимость представлена в виде графика φ(ω) на рис.5:

Зависимость φ(ω) обращается в ноль при ω=ω0, что полностью соответствует режиму цепи (резонанс напряжений), который иллюстрирует рис.3. Для ω<ω0 φ становиться отрицательной, что соответствует емкостному характеру цепи, а для ω>ω0 φ является положительной, что соответствует индуктивному характеру цепи.

Зависимость амплитуд тока и напряжений на емкости и индуктивности называют амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ).

Выражения для этих значений можно представить в следующем виде:







На рис.6 представлены зависимости этих величин от частоты:



Как и следовало ожидать, ток достигает максимума, равного , в режиме резонанса напряжений (ω=ω0). В этом же режиме UL= UC и ω стремиться к бесконечности. При ω стремящейся к нулю, ток стремиться к нулю. Это связано с тем обстоятельством, что в первом случае неограниченно возрастает емкостное, а во втором случае индуктивное сопротивление.

Из выражения (1) следует, что настройка контура в резонанс может достигаться за счет изменения частоты генератора, индуктивности или емкости элементов цепи. Первый вариант рассмотрен выше и иллюстрируется рис.5,6.

На рис.7 изображены зависимости тока в последовательном колебательном контуре от индуктивности и емкости цепи.


При значении цепь переходит в режим резонанса напряжений. Такая же ситуация происходит при .

Добротность последовательного колебательного контура
По определению добротность колебательного контура – это величина, которая определяется следующим выражением:

(9)

где Wmaxмаксимальная энергия, запасенная в контуре на резонансной частоте, P – мощность активных потерь при тех же условиях.

На резонансе напряжений . В то же время .

Таким образом, выражение для добротности контура приобретает следующий вид:

(10)

где получила название характеристического сопротивления контура.

Из выражения (10) следует, что добротность характеризует степень превышения реактивных сопротивлений и над активным сопротивлением r.

Учитывая что , а в соответствии с (10) получим:

(11)

Из (11) следует, что:

(12)

то есть добротность рассматриваемого контура определяется отношением напряжения на L или С при резонансе к величине приложенного к контуру напряжения.



На рис.8 изображены зависимости тока от частоты для двух последовательных колебательных контуров с одинаковой резонансной частотой и разными значениями добротности, причем Q1>Q2. Таким образом, как это следует из рис.8, добротность может характеризовать так же степень «остроты» резонансной кривой тока вблизи резонансной частоты в последовательном колебательном контуре.


Задача 1

В схеме электрической цепи рис.1 r=10 Ом L=1 Гн, С=1 мкФ. Определить резонансную частоту ω0, добротность контура Q, а так же амплитуду синусоидального напряжения на емкости UC, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение с амплитудой 10 мВ на резонансной частоте.

Решение:

В соответствии с (3) резонансная частота контура рад/с. В соответствии с (12) амплитуда напряжения на емкости В.

Задача 2



Цепь изображенная на рис.9, находится в режиме резонанса напряжений. Значение резонансной частоты f0=50 Гц. Значение соответствующих амплитуд напряжений и тока в контуре: U=220 В, UrL=204 В, UC=180 В, I=4 А. Определить параметры индуктивной катушки – r, L, емкость С и сопротивление r1.

Решение:

  1. На резонансе напряжений и отсюда Гн


  2. Напряжение на емкости отсюда мкФ

  3. Комплексная амплитуда напряжения на катушке отсюда Ом

  4. В резонансе (в соответствии с рис.3) отсюда Ом

Задача 3

При частоте Гц сопротивление катушки равно 41 Ом, а при постоянном токе – 9 Ом. При какой частоте наступает резонанс, ели последовательно с катушкой включен конденсатор емкостью C=51 мкФ.

Решение:

Комплексное сопротивление катушки (последовательное соединение r и L) равно:



Модуль Z: здесь r=9 Ом отсюда Гн. Резонансная частота Гц.

Задача 4

Последовательный колебательный контур (r, L, C) подключен к синусоидальной ЭДС с амплитудой E=1,6 В и внутренним сопротивлением R=16 Ом. При какой величине сопролтивления контура r  в нем выделится максимальная активная мощность при резонансе напряжений и чему она будет равна.


Решение:

В режиме резонанса напряжений контур эквивалентен активному сопротивлению r. Поэтому в данном режиме цепь будет содержать источник ЭДС с внутренним сопротивлением и активное сопротивление контура.



В соответствии с теоремой о максимальной активной мощности в нагрузке, в нагрузке выделиться максимальная активная мощность, если , где и комплексные сопротивления генератора и нагрузки соответственно. Так как в данном случае , а , то при r=R=16 Ом в активном сопротивлении контура при резонансе будет выделяться максимальная активная мощность:


где и - действующие значсения переменного ока и ЭДС: , отсюда P=20 мВт.