zabika.ru 1 2 3 4

Разработка по математике

для внеклассной работы с учащимися по теме «Исследование функций»

учителя математики МБОУ СОШ №49

ст.Смоленской Северского района Свидиной Е.Г.
Пояснительная записка.

Настоящая работа «Исследование функций» предназначена для факультативных занятий в 10-11 классах средней школы. Работу можно использовать как лекционный материал при углубленном изучении темы «Исследование функций».

Отдельные параграфы (2,3,4,5,6) рекомендуется рассмотреть на уроках математики при индивидуальной работе с сильными учащимися.

В предлагаемой работе содержится 8 параграфов, оснащенных теоретическим материалом по свойствам функций. Каждый параграф посвящен изучению того или иного свойства функции. Весь теоретический материал иллюстрируется решением примеров и задач.

Предложенные задачи для самостоятельного решения могут служить материалом для классных и домашних заданий.

Первые страницы работы посвящены начальным понятиям функции. Формирование этого понятия осуществляется путём разбора достаточного числа специально подобранных упражнений.

Прежде, чем перейти к изучению $4 «Монотонность» учащиеся должны повторить понятие производной, таблицу производных. Перед рассмотрением $7 «Асимптоты» учащимся рекомендовано повторить понятие предела функции и способы его вычисления.

Почти ко всем задачам для самостоятельного решения даны ответы, которые приводятся в конце изучаемого параграфа.

В данной работе используются символы:

- принадлежит;

- не принадлежит;

- существует;

! – существует и притом единственный;

: - такое что;

- для любого;

- выпукла вверх;


- выпукла вниз;

- убывает;

- возрастает.

Элементарные функции.

Определение: Даны два множеств X и Y. Закон соответствия f: каждому x из X соответствует только одно значение y из Y называется функцией.

Определение:
График функции – это некоторое множество точек (x, f(x)) при х из X.

Способы задания функции:


  1. Аналитический (задается формулой);

  2. Табличный ( используется в приложениях, можно использовать, когда множество значений конечно и не слишком большое);

  3. Графический (используется очень редко, так как дает общий вид, но саму функцию определить почти невозможно).

Задачи:

1.Является ли функцией площадь треугольника, две вершины которого зафиксированы, а третья лежит на некоторой кривой?

Решение:

безымянный.bmp



Является функцией, так как при изменении h меняется S (взаимно – однозначное соответствие).

2.Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне. Угол при основании равен . Является ли площадь трапеции функцией боковой стороны?

Решение:

В а

в

А С
.

h найдем из : , .

Найдем b: АС==.


Тогда .

Итак, ,

.

Таким образом, площадь трапеции является функцией боковой стороны.

Задачи для самостоятельного решения:


  1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания.

Является ли:

а) объём пирамиды функцией стороны основания?

б) боковая поверхность функцией объёма?

2. Является ли площадь прямоугольника функцией его периметра?

3. Является ли площадь треугольника АВС функцией его периметра, если АВ=2ед., угол ?

4. Является ли вес тела функцией его объёма, если удельный вес p= 2 (плотность)?

5. Является ли путь, пройденный телом за время t, функцией времени?

Ответы:

  1. а) является; б) является;

  2. не является;

  3. не является;

  4. является;

  5. Только при равномерном движении.


Определение: Функции y= f(x) и y=g(x) называются тождественно – равными на некотором множестве М, если они определены на М и для любого а из М выполняется равенство f(а)=g(а).

Задачи:

1.Являются ли функции y= f(x) и y=g(x) тождественно – равными? Если да, то указать на каком множестве.



Ответ: на множестве неотрицательных чисел.

б)

Ответ: на множестве неотрицательных чисел.


При исследовании функций рассматривают следующие свойства функций:


  1. Ограниченность;

  2. Четность;

  3. Периодичность;

  4. Монотонность;

  5. Экстремумы;

  6. Наибольшее и наименьшее значения;

  7. Направления выпуклости.

Каждое из свойств функции мы рассмотрим в отдельности.


§ 1.Ограниченность функции.

Определение: Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что . Число М называется верхней границей функции f(x).

Верхних границ может быть много, наименьшая из них называется точной верхней гранью.

Определение: число m называется нижней границей, если . Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней гранью.

Определение: функция ограничена сверху и снизу, если :.

Пример: при .

.

То есть :.

Множество верхних границ ;. М=1 – точная верхняя граница.

Множество нижних границ ;-, m=-5 – точная нижняя граница.


Определение: функция называется неограниченной сверху (снизу), если.

Пример: Доказать, что функция , является ограниченной и сверху, и снизу.

Решение:



Так как , , то ,

для всех .

Итак, множество верхних границ ;.

, значит множество нижних границ ;.
Задачи для самостоятельного решения:

1.Показать, что функция ограничена снизу.

2. На каких множествах ограничены снизу и сверху функции:

а); б); в).

3. На каких множествах функция ограничена сверху и неограниченна снизу; ограничена снизу и не ограничена сверху; не ограничена ни сверху, ни снизу?
§2. Четность.

Определение: Функция называется нечетной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого x из области определения функции.

Определение: Функция называется четной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения функции.


График четной функции симметричен относительно оси ОУ, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры четных функций: , ,.

Примеры нечетных функций: ,.

Задание 1: Доказать, что функции в выше приведенных примерах являются четными или нечетными.

Теорема: любую функцию , определенную на области определения , симметричной относительно точки О(0;0) моно представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Доказательство:

Представим в виде:

- четная функция;

- нечетная функция;

.
Свойства четных и нечетных функций:


  1. Если и -четные, заданные на одной и той же области определения (если нет, то надо рассматривать пересечение областей) функции, то

; ; , где - тоже четные функции.
  1. Если и нечетные, заданные на одной и той же области определения функции, то - нечетная функция.


Задание 2: доказать выше приведенные свойства четных и нечетных функций.
Задача 1: Является ли функция четной или нечетной?

Решение:

Найдем область определения функции ,

При , получим 1,

При , имеем .

Значит, .

= .

Таким образом, и область определения симметрична относительно О(0;0), значит функция - нечетная.
Задачи для самостоятельного решения:

  1. Убедиться, что функция является четной.

  2. Убедиться, что функции и не являются четными.

  3. Какие из функций являются четными

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ?

  1. Какие из функций являются нечетными

  1. ;
  2. ;


  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ?

  1. Существует ли функция определенная на всей числовой оси, которая одновременно была бы:

а)нечетной и возрастающей;

б) нечетной и убывающей;

в) четной и возрастающей?

Изобразите схематически графически.

Ответы:

3.b),c),d),f),g);

4. c),d),f),g);

5.а)да, б)да, в)нет.

§3. Периодичность.

Определение: функция называется периодической, если существует число Т, такое что (для любого из области определения) и выполняется равенство .

Область определения периодической функции должна быть неограниченной.

Пример: ;

.

Свойства множества периодов:

  1. Если является периодом функции , то тоже является периодом .
  2. Если и - периоды функции , то тоже период функции .


Доказательство:

.

3.Если период, то тоже период, где .

Это свойство следует из второго свойства.

Свойства периодических функций:

1)Если некоторая точка , то ,.

Это свойство следует из определения периодической функции.

Пример: не периодична, так как ;.

2)Периодическая функция либо не имеет нулей, либо имеет их бесконечное множество.

Доказательство:

Пусть , тогда ,где .

Пример: не периодична, так как имеет только два нуля при и .

3)Если периодическая функция непрерывна на всей числовой оси, то она ограничена.

Пример:

а) .

То есть функция периодическая и ограничена и снизу, и сверху, и является непрерывной.

б) периодическая, не является непрерывной и не ограничена.

4) Всякая непрерывная монотонная функция не является периодической.

Пример: - монотонная, непрерывная и непериодическая функция.


Доказательство:

Пусть дана непрерывная функция,.

Если возрастает, то по определению возрастающей функции. А это значит , что не периодична.

Аналогично доказывается, что если непрерывная и убывающая, то она не периодична.

5)Если функция такова, что любое число является периодом, то .

Доказательство:

Пусть , так как любое число может быть периодом.

.А это значит, что .

6) непрерывная периодическая функция, не являющаяся постоянной, имеет наименьший положительный период.

Пример: имеет периоды , ,

Наименьший положительный период .

7)Пусть непрерывная периодическая функция с периодом ;

непрерывная периодическая функция с периодом ; тогда функция

является периодической тогда им только тогда, когда

(соизмеримы периоды), где - рациональное число, и .


Доказательство:

Пусть , тогда .

Из свойств периодов имеем, что является периодом и и .

Рассмотрим .

Таким образом .

Пример: выяснить периодична ли функция и найти в случае периодичности период.

Решение:

;

- соизмеримы. Наименьший положительный период .

Пример: найти наименьший положительный период функции .

Решение:

Предположим, что данная функция периодическая, то есть существует такое, что выполняется равенство: .

Проверим справедливость нашего утверждения:

Решая уравнение относительно величины , получим (1)

(2).

Величина , определяемая (1) не удовлетворяет определению периода, так как зависит от . (2) задает бесконечное множество чисел ,


Наименьшим положительным периодом является .
Задачи для самостоятельного решения:


  1. Выяснить периодичны ли функции. Найти наименьший положительный период:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. .

Ответы:1. a) нет; b) да ; c) да ; d) да e) да ;; f) да ;g) нет; h)нет.



следующая страница >>