zabika.ru   1 2 3 4

§4. Монотонность функции.


Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве М из области определения, если

и .

Определение: Функция называется убывающей на некотором множестве М из области определения, если

и .

Определение: Функция называется монотонной на множестве М, если она убывает или возрастает.

Пример1: Проверить монотонность функции .

Решение:

;.

Возьмем и пусть .

Исследуем знак разности:

.

Знаменатель дроби всегда больше нуля, числитель меньше нуля. Таким образом, и функция является возрастающей.
Задачи для самостоятельного решения:


  1. Проверить монотонность функции:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ; ;
  5. ; ;


  6. .

Теорема: Для того, чтобы функция возрастала (убывала) на данном интервале, достаточно чтобы производная была положительной (отрицательной) в каждой точке этого интервала. Если при этом функция непрерывна в каком – либо из концов промежутка возрастания (убывания), то этот конец можно присоединить к упомянутому промежутку.

Замечание: Подчеркнем, что требование положительности (отрицательности) производной на данном промежутке не является необходимым возрастания (убывания) функции на этом промежутке, но является достаточным.

Так, функция возрастает на, но производная этой функции не является положительной в каждой точке числовой прямой (она обращается в нуль при ).

Пример: Исследовать функцию на монотонность.

Решение:

.

Найдем производную: .

Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен, то для любого .

Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Теорема 2: Функция возрастает (убывает) на промежутке, если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна (в этих точках производная может и не существовать).


Пример 2: Найти промежутки монотонности функции.

Решение:

.

Найдем производную: .

Так как при всех и при , то возрастает на .

Пример 3: Исследовать на монотонность функцию .

Решение:

Функция непрерывна на .

Представив функцию в виде ; находим или .

Очевидно, что для всех , за исключением одной точки

(В этой точке производная не существует), в которой функция непрерывна. Следовательно, функция возрастает на .

Пример 4: Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Представив функцию в виде ,

находим, или .

при ; не существует при .


Точки 0 и 1 разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых производная сохраняет постоянный знак: при и ; при .

Учитывая непрерывность функции в точках 0 и 1, заключаем, что функция возрастает на промежутках и убывает на .

Задачи для самостоятельного решения:

2.Исследуйте на монотонность функции:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

3. Указать какие из функций являются возрастающими или убывающими на всей числовой прямой

а) ;

б) ;

в) ;

г) .
Свойства монотонных функций:

Пусть и некоторые функции на множестве .


  1. Если функция убывает (возрастает) на множестве , то функция

, где , убывает (возрастает) на ;


убывает (возрастает) при ;

возрастает (убывает) при .


  1. Если функции и возрастают (убывают), то функции возрастают (убывают).

  2. Если и функции возрастающие, то функция возрастающая.

Пример 5: . Функция является возрастающей на .

  1. Если и возрастают, то функция убывающая.

Пример 6: Функция является убывающей на .

Следствие из свойства 3) и 4):

  • Если и возрастает, то ) тоже возрастает.

  • Если и возрастает, то убывает.

Пример 7: и возрастает на ;

убывает на .
  1. Функция возрастает и , тогда убывает, если возрастает и отрицательна, то возрастает.


Пример 8: и на ,

убывает на .

6)Если возрастает и неотрицательна, то тоже возрастает.

7) если возрастает, тогда возрастает при и убывает при

.

Пример 9: Используя свойства найти промежутки убывания и возрастания функции .

Решение:

на возрастает. Значит тоже возрастает (свойство 1), кроме того неотрицательна на . Следовательно, функция убывающая (свойство 4).

Итак, убывает на .

на убывает. Значит, убывает на (свойство 1). Кроме того, положительна.

Значит, функция возрастает на .

Ответ: убывает на ; возрастает на.

Задачи для самостоятельного решения:

4.Найти промежутки убывания и возрастания функции, используя свойства монотонных функций:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) ;

ж).

Ответы:

1.а) возрастает на ; б) убывает на , возрастает на ; в) возрастает на ; г) возрастает на и убывает на; д) возрастает; е) убывает на и возрастает

на .

2.а) убывает на и возрастает на ; б) возрастает на ;

в) убывает на и возрастает на ; г) убывает на и возрастает на ; д) возрастает на и убывает на ; е) убывает на и возрастает на .

3. а) убывает; б) возрастает; в) убывает.

4.а) возрастает на и убывает на ;


б) убывает на и возрастает на ; в) возрастает на ;

г) убывает на и возрастает на ;

д) убывает на и возрастает на ;

е) возрастает на .
§5. Экстремумы.

Говорят, что функция имеет в точке максимум (или минимум), если найдется такая s –окрестность точки , принадлежащая области определения функции, что для всех , принадлежащих промежутку выполняется неравенство (соответственно ).


y



На рис.

Изображена a x1 x2 x3 x4 b

функция, определенная

на промежутке ,

имеющая в точках и максимумы, а в точках и минимумы.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремальными значениями функции.

Для функции, график которой изображен на рисунке точки a и b не являются точками экстремума функции, так как в любой сколь угодно малой окрестности этих точек найдутся точки, не принадлежащие области определения функции.


Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции:

Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю, то есть .

Обратное утверждение , вообще говоря , неверно – если в точке производная , то функция в точке может не иметь экстремума.

Пример 1: .

В точке , но функция не имеет экстремума в данной точке.

Определение: Критическими точками функции в промежутке называются точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие существования экстремума функции:

Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и на всем этом промежутке (за исключением, быть может, конечного числа точек) дифференцируема.

Пусть - критическая точка функции и в некоторой

s- окрестности этой точки, по крайне мере для существует конечная производная , которая слева и справа от сохраняет знак (возможно, с разных сторон разный).


Тогда возможны следующие три случая:


  1. при и при , то есть производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус.

В этом случае в промежутке функция возрастает, а в промежутке убывает, так что значение будет наибольшим на , то есть функция в точке имеет максимум;

  1. при и при , то есть производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс.

В этом случае в точке функция имеет минимум;

  1. при и при ; либо

при и при , то есть при переходе через точку производная не меняет знака;


Тогда функция либо возрастает, либо убывает на промежутке и в точке - экстремума нет.


Итак , первое правило для проверки критической точки на экстремум заключается в том, что подставляя в производную сначала , затем , устанавливают знак производной в окрестности точки слева и справа от неё. Если при этом её производная меняет знак с плюса на минус, то в точке - максимум; если с минуса на плюс – то минимум; если же знак не меняется, то экстремума нет.

На рис.2 производная функции при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс и функция в точке имеет минимум, а функция , производная которой при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, - максимум.

На рис.3 как функция , так и функция имеют в точке производную, равную нулю: при переходе через точку производный той и другой функции знака не меняют и экстремумов у функций и в точке нет.


На рис.4 и 5 изображены графики функций, которые не имеют производных в точке . В согласии с правилами смены знака производных для этих функций, они имеют соответственно минимум, максимум и не имеют экстремумов в точке .

Еще раз подчеркнем, что сформированное выше достаточное условие существования экстремума функции в точке пригодно как в случаях, когда производная в точке обращается в нуль, так и в случаях, когда в этой точке производная не существует, и применимо к непрерывным функциям, имеющим непрерывную производную на , за исключением, быть может, конечного числа точек.

Пример 2: Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную данной функции: .

Для того, чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю

,

,

,

или ,



.

Итак, критические точки функции.

Точек, в которых производная не существует нет, так как .

Построим таблицу:





-2



0



2





+

0

-

0

-

0

+





3,2



0



-3,2



extr




max




-




min





Значит, точка максимума, =3,2 максимум функции;

точка минимума, -3,2 минимум функции.

Пример 3: Найдите экстремумы функции .


Решение:

Найдем производную данной функции:

.

Итак, .

Чтобы найти критические точки, решим уравнение: .

Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю. Значит,



; .

Производная не существует в точке .

Значит, -1;1;3 – критические точки функции.

Построим таблицу:





-1



1



3





+

0

-

нет

-

0

+



-2



нет



6








max




нет




min




Значит, - точка максимума, - максимум функции;

- точка минимума, - минимум функции.

Определение: Точку называют стационарной точкой функции, если в этой точке функция дифференцируема и её производная равна нулю.

Сформулируем еще одно достаточное условие существования экстремума функции в точке.

Достаточное условие существования экстремума функции в точке:

Пусть стационарная точка функции и в некоторой окрестности точки , включая саму эту точку, функция имеет производную, а в точке существует и вторая производная . Если вторая производная положительна, то функция в точке имеет минимум; если вторая производная в точке отрицательна, то - максимум.


Сформулированное правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения пор сравнению с первым правилом; оно, например, явно неприменимо к точкам, в которых не существует первая производная. В тех случаях, когда вторая производная в точке обращается в нуль, правило также ничего не дает и решение вопроса о существовании в этой точке экстремума зависит от поведения высших производных.

Пример 4: Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем первую производную функции:

, стационарная точка функции.

Найдем вторую производную функции:

.

Так как вторая производная функции в стационарной точке положительна, то функция в точке имеет минимум.

Задачи для самостоятельного решения:


  1. Найти стационарные точки функции:

а);

б) ;

в) .

2.Найти критические точки функции:

а); д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж);

г) ; з) .

3.Найти экстремумы функции:

а); з) ;


б); и) ;

в); к);

г); л);

д); м);

е) ; н).

Ж);
Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных:
Для решения той же самой задачи, которую мы только что разобрали, можно указать ещё другой, довольно удобны признак. Этот признак основан на исследовании знака тех численных значений, которые принимают высшие производные при .

Пусть . Рассмотрим .

Если и , то рассматриваем и.т.д. до тех пор, пока не дойдем до неравного нулю числа.

Именно: пусть первым неравным нулю числом будет , тогда


  1. Если n-четное и , то функция имеет минимум при ;

  2. Если n-четное и , то функция имеет максимум при ;
  3. Если n- нечетное, то при имеет точку перегиба.


Пример 5: Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

, ;

, ;

, .

, значит, n=3 нечетно и при имеем точку перегиба.

Пример 6: исследовать на экстремум функцию .

Решение:

,

при и .



и n – четно, значит, - точка максимума.

и n-четно, значит, - точка минимума.
Задачи для самостоятельного решения:

  1. .Исследовать на экстремум функции:

а); г);

б); д) ;

в); е).



<< предыдущая страница   следующая страница >>