zabika.ru   1 2 3 4

§6.Наибольшее и наименьшее значения функции.


Пусть функция определена и непрерывна на конечном замкнутом промежутке. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо найти все максимальные (минимальные) значения функции в промежутке , выбрать из них наибольшее (наименьшее) и сравнить его со значениями функции в точках a ,b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на промежутке .

При нахождении наибольшего или наименьшего значении функции может оказаться, что на промежутке функция не имеет критических точек.

Это говорит о том, что в рассматриваемом промежутке функция возрастает или убывает и, следовательно, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах промежутка.

Пример 1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на .

Решение:

Вычислим производную данной функции: .

При всех производная существует и при .

В промежутке лежит лишь .

.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, а потому в точке минимум функции .

Найдем значения функции на концах промежутка:


;

.

Следовательно, наибольшее значение функции достигается на правом конце промежутка в точке , а наименьшее – внутри промежутка в точке .

Пример 2: Из квадратного листа со стороной a, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую коробку. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы получившаяся коробка имела наибольший объём?

Решение: x

X

Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х.

Тогда объём коробки будет равен:

, где .

Найдем производную данной функции:

,

=.

Найдем стационарные точки функции .

Для этого решим уравнение: .

,

или ,

.

Итак, стационарные точки функции.

Найдем вторую производную функции :

,

.


,

.

Значит, в точке функция имеет максимум.

На концах промежутка функция обращается в нуль.

Таким образом, объём коробки при будет наибольшим.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ;

2. Найти наименьшее значение функции ;

3. Найти наибольшее значение функции ;

4. Найти наименьшее значение функции ;

5. найти наименьшее и наибольшее значения функции ;

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

7. Найти положительное число, сумма которого с обратным ему числом имеет наименьшее значение.

8. Убедиться, что если произведение двух положительных чисел постоянно, то их сумма будет наименьшей, когда эти числа равны между собой.

9. Число а разложить на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было наибольшим.

10. Число 7 представить в виде слагаемых так, чтобы сумма их третьих степеней была наименьшей.

11. Разложить число а на два слагаемых так, чтобы сумма квадратов их была наименьшей.

12.Какой прямоугольник имеет при заданном периметре наибольшую площадь?


13. Остроугольный треугольник основания а и высотой h описан около прямоугольника, стоящего на а. как надо выбрать высоту прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

14. Найти наибольший объём правильной четырехугольной пирамиды, если её боковая поверхность равна .

15. В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

16. Какой из описанных около шара конусов имеет наименьший объём?

17. Выбрать из всех квадратов, которые можно вписать в заданный квадрат, квадрат наименьшей площади.

18. Каким должно быть основание равнобедренного треугольника с заданной площадью, чтобы его периметр был наибольшим?

Ответы:

1. ;

2.;

4. ;

5. наибольшее , наименьшее ;

6. а) наибольшее , наименьшее ;

б) наибольшее , наименьшее ;

в) наибольшее , наименьшее ;

г) наибольшее , наименьшее ;

д) наибольшее , наименьшее .

9. Слагаемые равны;

10. Слагаемые равны;

11. Слагаемые равны;

12. Квадрат;

13. Высота прямоугольника должна равняться половине высоты треугольника;


14. ;

15. куб.дм. Высота цилиндра равна одной трети высоты конуса;

16. Высота конуса равна учетверенному радиусу шара;

17. сторона вписанного квадрата должна равняться половине стороны данного квадрата;

18. .

§7. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику данной функции в точке можно провести касательную, уравнение которой имеет вид: .

Говорят, что в точке кривая (график функции ) направлена вогнутостью в определенную сторону (вверх или вниз) от касательной, если в достаточно малой окрестности точки все точки кривой лежат по одну сторону от касательной (рис.1 и 2).

Точку называют точкой перегиба, если в достаточно малой её окрестности точки кривой с абсциссами лежат по одну сторону от касательной, а точки с абсциссами - по другую, то есть в точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис.3).

Выпуклая вверх – участок кривой АВ, выпуклая вниз – участок кривой ВС.






Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку М по участку АВ кривой, выпуклому вверх, то угол а будет уменьшаться. Одновременно с убыванием а будет убывать и , то есть .

Итак, участки графика, выпуклые вверх отвечают интервалам убывания .

Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку М по участку ВС кривой, выпуклому вниз, то угол а будет увеличиваться. Одновременно с возрастанием а будет увеличиваться и , т.е..

Итак, участки графика выпуклые вниз, отвечают интервалам возрастания .

Нетрудно видеть, что если до точки перегиба В был участок выпуклый вниз, а потом стал участок, выпуклый вверх, то такая точка соответствует минимуму , потому что здесь переходит от убывания к возрастанию.

А значит, .

Таким образом имеем: направление выпуклости кривой в некоторой точке выполняется по следующему правилу:


  1. На участках графика, выпуклых вверх, имеем ;

  2. На участках графика, выпуклых вниз, имеем ;

  3. В точках перегиба .

Сформулированное правило – достаточное (но не необходимое) условие перегиба кривой.

Так, функция в точке имеет вторую производную, равную нулю, но тем не менее в этой точке кривая направлена выпуклостью вверх (рис.5)

5.bmp


Пример 1: найти промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз функции .

Решение:

Найдем первую производную функции .

Найдем вторую производную функции .

Таким образом, если , то и функция на выпукла вниз.

Если , то и функция на выпукла вверх.

Пример 2: Найти промежутки выпуклости функции .

Решение:

, .

Решая уравнение , получим .

В промежутках функция сохраняет знак плюс; и синусоида направлена выпуклостью вверх.

В промежутках , и следовательно, синусоида направлена выпуклостью вниз.

- точки перегиба функции .
Пример 3: найти промежутки выпуклости вверх и вниз у функции

Решение:

, .


Приравняем вторую производную к нулю и получим уравнение

, откуда .

Построим таблицу:





1





-

0

+






Точка перегиба



На кривая выпукла вверх; на - выпукла вниз.

Задачи для самостоятельного решения:


  1. Найти промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз у функций:

а) ; г);

б) ; д) .

в) ;

ответы:

1 . а) на выпукла вверх, на выпукла вниз, точка перегиба;

б) на выпукла вниз, на выпукла вверх, точки перегиба;


в) на выпукла вверх, на выпукла вниз, точки перегиба;

г) на выпукла вверх, на выпукла вниз, точка перегиба;

д) на выпукла вниз, на выпукла вверх,

точки перегиба.



<< предыдущая страница   следующая страница >>