zabika.ru   1 ... 2 3 4

§8. Асимптоты графика функции.


Очень часто ветвь кривой, удаляясь в бесконечность, неограниченно приближается к некоторой прямой линии. Эту прямую называют асимптотой по отношению к данной ветви.

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные ( в частности горизонтальные).

Прямая , задаваемая уравнением , вертикальная асимптота, если

.

Пример 1: график функции имеет вертикальную асимптоту ,

так как
Пример 2: График функции имеет вертикальные асимптоты . Так как .
Для существования наклонной асимптоты, задаваемой уравнением

, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы:

при , стремящемся к (или).

Пример 3: Найти асимптоты графика функции .

Решение:

Вертикальной асимптотой является прямая .

Коэффициенты наклонной асимптоты найдем из равенств:

;.

Итак, .

Значит, данная функция имеет наклонную асимптоту .








Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти асимптоты у следующих функций:

а) ; в);

б) ; г) .
Ответы:


  1. а) вертикальная асимптота; наклонная асимптота;

б) вертикальная асимптота; наклонная асимптота;

в) вертикальная асимптота; наклонная асимптота;

г) вертикальная асимптота; наклонная асимптота.
§9. Полное исследование функции и построение её графика.

Исследование функции и построение её графика обычно состоит в следующем:

  1. Находят область определений: область значений.

  2. Выясняют, будет ли данная функция периодической.

  3. Выясняют, будет ли данная функция четной (нечетной).

4.В случае, если область определения функции представляет собой всю числовую прямую, либо содержит лучи или , выясняют поведение функции в бесконечности, вычисляя соответствующие пределы: .

5. Находят точки пересечения графика с осями координат;

6. Находят точки максимума и минимума, устанавливая промежутки убывания и возрастания функции.


7. Находят точки перегиба функции, устанавливая промежутки, где кривая обращена выпуклостью вверх или вниз, причем в точках перегиба вычисляют угол наклона касательной.

8. Находят асимптоты графика функции.
При исследовании конкретных функций не обязательно придерживаться указанной последовательности исследования функции. Можно даже опускать выяснение тех или иных свойств, если они достаточно очевидны. Так, при исследовании рациональных функций обычно опускают исследование их периодичности по той причине, что из всех элементарных функций лишь тригонометрические функции обладают свойством периодичности.

Пример 1: исследовать функцию и построить её график.

Решение:


  1. ;

  2. Не периодична, так как ;

  3. Функция не является четной и нечетной, т.е. функция общего вида;

  4. Выясним поведение функции в бесконечности. Для этого вычислим пределы:

, .

  1. Точки пересечения с осями координат:

а) ось не пересекает, так как ;

б) с осью ,

,

.

  1. Найдем точки максимума и минимума.

Вычислим производную :

,

,,.

Производная обращается в нуль при и не существует при .


Так как , то критическими точками является .

Построим таблицу:













-

+

0

-
























  1. Найдем точки перегиба; установим направление выпуклости функции. Найдем вторую производную:

,

,

.


Решим уравнение :

,

.

Построим таблицу:








4






-

-

0

+























перегиб




  1. Найдем асимптоты:

Прямая вертикальная асимптота, так как .

Найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим пределы:

,


.

Значит, уравнение наклонной асимптоты .

На основании проведенного исследования можно построить график данной функции:





Задачи для самостоятельного решения:

В следующих задачах провести полное исследование функций и построить их графики:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6.;

7. ;

8. ;

9.;

10. .



<< предыдущая страница