zabika.ru 1

1)Дайте определение числового ряда и его суммы. Какой ряд называется сходящимся? Сформулируйте необходимый признак сходимости, признак сходимости Коши (с радикалом).


Определение числового ряда:

Определение суммы числового ряда: Если последовательность частичной суммы ряда имеет конечный предел, то этот предел S называется суммой ряда.

Ряд сходится, если S конечно; тогда:

Необходимый признак сходимости числового ряда: Если ряд - сходится, то .

Признак сходимости Коши с радикалом: Если существует , то при 0≤ λ<1 – ряд сходится, λ>1 – ряд расходится, λ=1 – не дает ответа.

2)Дайте определение абсолютной и условной сходимости числового ряда. Сформулируйте теоремы о свойствах абсолютно и условно сходящихся рядов.

Определение абсолютной сходимости числового ряда: Знакопеременный ряд – абсолютно сходящийся ряд, если сходится ряд .

Определение условной сходимости числового ряда: Ряд – условно сходящийся, если - расходится, а - сходится.

Теоремы о свойствах абсолютно и условно сходящихся рядов: Пусть - знакопеременный числовой ряд. Рассмотрим ряды: - ряд состоит из модулей an, – ряд состоит из положительных членов ряда , - ряд состоит из модулей отрицательных членов ряда . , , - знакоположительные ряды. 1)Пусть - сходится. Тогда согласно (3) и (4) и по признаку сравнения и - сходятся. Тогда по (1) сходится . Таким образом, если сходится, то - сходится. 2)Если одновременно сходятся ряды и , тогда по (1) и (2) сходится ряд и . 3)Если - сходится, а - расходится, то и не могут сходиться одновременно, а могут лишь одновременно расходится. Предположим и - сходятся, то по (2) - сходится, что противоречит предположению. Предположим, - сходится, а - расходится, тогда по (1) cn=bn-an, следовательно - сходится, что противоречит предположению. 4)Если - сходится, - расходится или наоборот, тогда и - расходятся.


3)Дайте определение знакочередующегося числового ряда. Сформулируйте признак Лейбница и теорему об оценке остатка знакочередующегося ряда.

Определение знакочередующегося числового ряда: Числовой ряд a1-a2+a3-a4+..+(-1)n-1an+.. , где все an>0.

Признак Лейбница: Пусть в знакочередующемся ряде a1-a2+a3-a4+.. числовая последовательность {an} убывает, т.е. а1>a2>a3>.. и . Тогда этот ряд сходится, причем его сумма S удовлетворяет 0
Теорема об оценке остатка знакочередующегося ряда: Любой числовой ряд сходится или расходится одновременно с любым своим остатком.

4)Сформулируйте достаточные признаки сходимости числовых рядов: признак Даламбера, интегральный признак Коши.

Признак Даламбера: Пусть , an>0, n=1,2.. Если существует , то при 0≤ λ<1 ряд - сходится, а при λ>1 – расходится.

Интегральный признак Коши: Пусть f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает при x ≥1. Тогда: 1) если сходится интеграл , то сходится числовой ряд ; 2) если - расходится, то – расходится.

5)Сформулируйте признаки сравнения знакоположительных числовых рядов.

Признак сравнения для рядов с положительными членами: и , an>0, bn>0 для всех n=1,2.. Пусть an≤bn для все nєN. Тогда если – сходится, то – сходится; если - расходится, то - расходится.


6)Дайте определение функционального ряда и его суммы. Что называется равномерной сходимостью функционального ряда? Сформулируйте признак Вейерштрасса.

Функциональный ряд: Ряд . fn(x), n=1,2.., определены на множестве Е числовой оси.

- сходится в точке х0єЕ, если сходится числовой ряд . Если сходится в каждой точке хєDcE и расходится в каждой точке х не принадлежащей D, то сходится на множестве D. D – область сходимости .

Сумма функционального ряда: Если сходится на множестве D, то , xєD.

Равномерная сходимость функционального ряда: называется равномерной сходимостью на множестве Ω включенный или совпадающим с D, если для любого ε>0 существует Nε>0, то |S(x) – Sn(x)|<ε выполняется для любых n≥Nε и для всех хєΩ.

Признак Вейерштрасса: Пусть для любых хєΩ члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующие члены сходящегося числового ряда , an>0, n=1,2.., т.е. |fn(x)| ≤an при любых n=1,2.. и любых хєΩ.

7)Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теорему о непрерывности суммы ряда и теорему об интегрируемости функционального ряда.

Теорема о непрерывности суммы ряда: - равномерно сходится на [a;b], все fn(x) – непрерывно на [a,b] n=1,2.. Тогда – непрерывна на [a,b].


Теорему об интегрируемости функционального ряда: - равномерно сходится на [a;b], , fn(x) – непрерывна на [a,b] n=1,2.. Тогда , для всех х0, хє[a,b]. Полученный ряд - равномерно сходится по х на [a,b].

8)Дайте определение степенного ряда, интервала сходимости и радиуса сходимости степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля.

Определение степенного ряда: (1) или (2)

Интервал сходимости степенного ряда: Интервалом сходимости называют интервал (-R,R), R>0, для всех хє(-R,R) ряд сходится абсолютно, а в точке х: |x|>R ряд расходится.

Радиус сходимости степенного ряда: Если ряд имеет вид (1) или (2), то радиус сходимости: или

Теорема Абеля: 1) Если сходится при х=х1≠0, то он сходится абсолютно при любых х: |x|<|x1|; 2) Если расходится при х=х2, то он расходится для любых х: |x|>|x2|.

9)Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании степенного ряда.

Теорема о дифференцировании степенного ряда: можно почленно дифференцировать в любой точке хє(-R,R), R>0. При этом:


Теорема об интегрировании степенного ряда: можно почленно интегрировать в его интервале сходимости (-R,R) причем радиус сходящегося ряда полученного почленным интегрированием также равен R. В частности для любого хє(-R,R) справедливо:

10)Сформулируйте теорему о разложении функции в степенной ряд. Запишите разложение в ряд Маклорена функций sinx, (1+x)m, ex.

Теорема о разложении функции в степенной ряд: Если функция f(x) на (-R,R) разложима в степенной ряд , то это разложение единственное, т.е. cn, n=1,2.., по его сумме определяется однозначно.

Разложение в ряд Маклорена:

а) , xє(-∞;+∞)

б) , xє(-1;1)

в) , xє(-∞;+∞)

11)Сформулируйте теорему о разложении функции в степенной ряд. Запишите разложение в ряд Маклорена функций cosx, ln(1+x), ex.

Теорема о разложении функции в степенной ряд: Если функция f(x) на (-R,R) разложима в степенной ряд , то это разложение единственное, т.е. cn, n=1,2.., по его сумме определяется однозначно.

Разложение в ряд Маклорена:

а) , xє(-∞;+∞)

б) , xє(-1;1]

в) , xє(-∞;+∞)

12)Дайте определение числового ряда и его суммы. Какой ряд называется сходящимся? Сформулируйте теорему о линейной комбинации сходящихся числовых рядов и следствия из неё.


Определение числового ряда:

Определение суммы числового ряда: Если последовательность частичной суммы ряда имеет конечный предел, то этот предел S называется суммой ряда.

Ряд сходится, если S конечно; тогда:

Теорема о линейной комбинации сходящихся числовых рядов: Пусть даны ряды и - сходятся, тогда сходятся ряды и , причем

Следствия: Линейная комбинация сходящегося и расходящегося числовых рядов - расходящийся числовой ряд.

13)Дайте определение функционального ряда и его суммы. Что называется равномерной сходимостью функционального ряда? Сформулируйте теорему о дифференцируемости функционального ряда.
Функциональный ряд: Ряд . fn(x), n=1,2.., определены на множестве Е числовой оси.

- сходится в точке х0єЕ, если сходится числовой ряд . Если сходится в каждой точке хєDcE и расходится в каждой точке х не принадлежащей D, то сходится на множестве D. D – область сходимости .

Сумма функционального ряда: Если сходится на множестве D, то , xєD.

Равномерная сходимость функционального ряда: называется равномерной сходимостью на множестве Ω включенный или совпадающим с D, если для любого ε>0 существует Nε>0, то |S(x) – Sn(x)|<ε выполняется для любых n≥Nε и для всех хєΩ.

Теорема о дифференцируемости функционального ряда: - сходится в каждой точке [a,b]. Пусть fn(x) имеют непрерывное произведение на [a,b] – равномерно сходится на [a,b]. Тогда для всех хє[a,b]: []’=.