zabika.ru
добавить свой файл
1
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА

ЛЕКЦИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА
Динамика изучает механическое движение частиц с учетом причин вызывающих изменение характера их движения. В основе ньютоновой механики лежат несколько постулатов, которые были сформулированы И. Ньютоном и носят название законов Ньютона. Рассмотрение движения частиц проводится по отношению к ИСО. Случаи, когда движения частиц рассматриваются по отношению к неинерциальным системам отсчета, оговариваются особо.

2.1 Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности

Инерциальной системой отсчета называется система отсчета, по отношению к которой пространство однородно, изотропно, зеркально-симметрично и время однородно (см. лекцию 1). Изолированная частица, т.е. частица, которая не подвержена каким-либо воздействиям со стороны других объектов, в данной системе отсчета движется с постоянной скоростью, т.е. прямолинейно и равномерно, или покоится. Данное утверждение носит название закона инерции и является следствием однородности и изотропности пространства, однородности времени и принципа относительности. Данный закон можно сформулировать следующим образом: ускорение изолированной частицы в ИСО равно нулю.

Первый закон Ньютона постулирует существование ИСО.

Существование ИСО должно проверяться экспериментально. Строго инерциальной системы отсчета не существует. Ту или иную систему отсчета можно считать инерциальной лишь с известной степенью точности. С большой степенью точности инерциальной можно считать систему отсчета связанную с Землей (геоцентрическая система отсчета). С еще большей степенью точности инерциальной можно считать систему отсчета связанную с Солнцем (гелиоцентрическая система отсчета).

Опыт показывает, что система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно ИСО, сама будет инерциальной с той же степенью точности. Таким образом, существует целое множество ИСО.

Принцип относительности утверждает равноправие всех ИСО: среди ИСО нет какой-либо особо выделенной (предпочтительной) для описания различных физических процессов. Впервые принцип относительности был сформулирован Галилеем и охватывал множество механических процессов (механический принцип относительности). В 20-м веке А. Эйнштейном принцип относительности был распространен на все процессы в природе (оптические, электромагнитные и др.) Данный принцип лежит в основе построения специальной теории относительности и является обобщением огромного числа экспериментальных фактов.


Принцип относительности допускает следующую его формулировку: законы природы (в том числе, механики) должны быть ковариантны по отношению к разным ИСО. Другими словами: законы природы не должны менять свою форму при переходе от одной ИСО к другой. При этом сами физические величины могут меняться при переходах от одной ИСО к другой; математические выражения, связывающие их, остаются неизменными. Законы природы имеют, таким образом, одинаковый вид в разных ИСО.

Процессы будут выглядеть одинаковым образом в разных ИСО, если для них реализовать одинаковые начальные условия. Принцип относительности устанавливает возможность такой реализации.
2.2 Описание состояния механической системы. Принцип причинности

Одной из главных и первых задач любой физической теории является задача описания состояния физической системы. Под состоянием системы понимается конкретная ситуация, в которой находятся объекты системы. В разных физических теориях описание состояния осуществляется различными способами. Все, эти способы, должны удовлетворять вполне определенным требованиям.

Описание состояния системы должно быть по возможности наиболее полным. Это означает, что нужно задать такую информацию о системе в некоторый момент времени, которая позволяла бы: 1) определять всевозможные характеристики системы в данный момент времени (статический аспект); 2) состояние системы в некоторый момент времени должно предопределять ее состояние в последующие моменты времени (динамический аспект). Второе требование выражает собой принцип причинности в самой общей его формулировке.

Состояние замкнутой механической системы в классической механике описывается с помощью задания координат и скоростей частиц системы. Их задание в некоторый момент времени однозначно предопределяет состояние системы во все последующие моменты времени, т.е. эволюцию системы:


. (2.1)

Здесь через обозначены радиус-векторы и скорости частиц системы (переменные состояния системы). Набор координат и скоростей частиц в момент времени определяет, в частности, и ускорения частиц системы в данный момент времени и в последующие моменты времени:

. (2.2)

Функции в данной формуле называются функциями воздействия частиц системы на частицу . Они связывают между собой кинематическую характеристику движения частиц – ускорение



- с переменными состояния системы частиц. В классической механике вид функций воздействия вводится через измерение кинематических характеристик движения – ускорения, скорости и радиус-векторы частиц.
2.3 Масса

Рассмотрим замкнутую систему из двух частиц взаимодействующих друг с другом. Опыт показывает, что векторы ускорений частиц противоположно направлены, лежат на одной прямой и отношение их модулей не зависит от состояния, в котором находится система, т.е.

. (2.3)

Отношение ускорений частиц называется их относительной массой, которую обозначим . Очевидно, что . Возьмем третью пробную частицу. Пусть она сначала взаимодействует с первой частицей, а затем со второй. В результате измерим соответствующие относительные массы и найдем, что или . Данное отношение не зависит от вида пробной частицы. Далее логично относительную массу представить следующим образом:


. (2.4)

Здесь - массы соответствующих частиц или их относительные массы по отношению к массе эталонной (пробной) частицы, которая принимается за единицу массы. Из соотношений (2.3) и (2.4) следует, что

. (2.5)
Масса частицы является ее внутренней характеристикой в том смысле, что она не зависит от состояния, в котором находится частица.

Масса частицы, определенная способом, описанным выше, вообще говоря, называется инертной массой. Она характеризует способность частицы сохранять характер своего движения при воздействии на нее. Чем больше масса частицы, тем сложнее изменить характер ее движения.

2.4 Сила. Принцип независимости действия сил

Силой, действующей на частицу со стороны других частиц системы, называется произведение массы частицы на функцию воздействия частиц системы на данную частицу:

(2.6)

Полную силу (2.6), действующую на частицу системы , можно представить в виде векторной суммы сил, действующих на данную частицу со стороны других частиц системы, т.е.

. (2.7)

Данное утверждение носит название принципа независимости действия сил. Суммирование в формуле (2.7) происходит по числу частиц системы, знак «штрих» у суммы означает, что . Силу, определяемую данной формулой, называют равнодействующей сил, действующих на частицу системы.


Если система частиц не является замкнутой, то полная сила, действующая на частицу , является суммой сил, действующих на частицу со стороны частиц системы и частиц, не входящих в эту систему, т.е.:

. (2.8)

Здесь - равнодействующая внутренних сил, действующих на частицу системы, - равнодействующая внешних сил, - сила, действующая на частицу со стороны частицы . Равнодействующая внешних сил считается известной (заданной).

Принцип независимости действия сил следует рассматривать как обобщение целого ряда экспериментальных фактов.
2.5 Законы (постулаты) Ньютона

В данном пункте мы сформулируем три основных постулата классической механики Ньютона, которые называют законами Ньютона.
Первый закон Ньютона. ИСО существуют.
Чтобы сформулировать второй закон Ньютона перепишем формулу (2.6), используя (2.2) и определение ускорения частицы, в виде:

. (2.9)

Здесь - равнодействующая внутренних и внешних сил, действующих на частицу.

Второй закон Ньютона. Под действием силы частица массы получает ускорение


. (2.10)
Третий закон Ньютона формулируется на основе формулы (2.5).
Третий закон Ньютона. Две частицы взаимодействуют между собой силами, равными по величине и противоположно направленными:

. (2.11)
Уравнение (2.9) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка и называется уравнением движения частицы. Для его однозначного решения необходимо задать начальные условия. Такими начальными условиями в силу принципа причинности выступают начальное положение частицы и ее начальная скорость. Т.к., в силу однородности времени, начальный момент времени можно выбрать произвольным образом, то достаточно задать положение и скорость частицы в некоторый момент времени.

Основная задача динамики частицы. По заданной силе, действующей на частицу, известной массе частицы, начальной скорости и положению частицы требуется найти закон движения частицы .

Данная задача решается однозначно интегрированием уравнения (2.9). В этом находит свое отражение принцип причинности в классической механике.

Рассмотрим примеры на решение основной задачи механики и обратной для нее задачи: по закону движения частицы найти силу, под действием которой происходит движение.

Пример 2.1. Частица движется в плоскости по закону: . Найти силу, под действием которой происходит движение.

Проекции ускорения находим как вторые производные по времени от координат частиц: . Далее по формуле (2.10) находим проекции силы: . Таким образом, частица совершает движение под действием постоянной силы, которая направлена противоположно направлению оси .


Пример 2.2. Если движение частицы задано в полярных координатах (рис.2.1), то для скорости частицы имеем:

;

ускорение частицы:

.

Для проекций сил на направление радиус-вектора частицы и перпендикулярное к нему направление в сторону увеличения угла можно, соответственно записать:

.





0

Рис. 2.1

Пример 2.3. Закон движения частицы в полярной системе координат имеет вид: , где - постоянные. Найти силу, под действием которой движется частица. По формулам примера 2.2 находим: . Модуль силы определяется так: .


Пример 2.4. Найти закон движения частицы в однородном поле силы тяжести Земли, которая брошена под углом к горизонту с начальной скоростью (рис.2.2).

Проекции силы, действующей на частицу, и уравнения движения имеют вид:

.

Массу частицы в данных уравнениях можно сократить. Это обстоятельство указывает на то, что движение частицы в поле силы тяжести не зависит от ее массы. Проинтегрировав дважды данные уравнения движения, получим:

,

где - постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий: .

Окончательно получаем:

.








0

Рис. 2.2

Пример 2.5. Частица массы падает вертикально вниз под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха . Считая, что начальная координата , начальная скорость , ось направлена вертикально вниз, найти закон движения частицы.


Уравнение движения частицы имеет вид:



или

.

Последнее дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрируем данное уравнение и получаем:

.

Постоянную определяем из начального условия . В результате находим закон изменения скорости частицы:

.

Последнее уравнение представим в виде:

.

Проинтегрируем его:

.

Постоянная определяется из начального условия . Окончательно получаем:

.
Однородность, изотропность пространства, однородность времени, принцип относительности накладывают ряд ограничений на зависимость силы взаимодействия частиц от их координат, скоростей и времени.

Рассмотрим замкнутую систему из двух взаимодействующих бесструктурных частиц. Пусть частицы покоятся относительно друг друга. В силу однородности пространства сила взаимодействия должна зависеть от разности радиус-векторов частиц , т.к. именно эта величина является инвариантной относительно преобразований радиус-вектора при пространственном сдвиге. В силу изотропности пространства следует, что единственным выделенным направлением в пространстве является направление, определяемое единичным вектором, направленным по прямой соединяющей частицы, . Отсюда следует, что сила взаимодействия должна иметь вид


. (2.12)

Предположим теперь, что частицы движутся относительно друг друга. В силу принципа относительности сила взаимодействия должна зависеть от относительной скорости движения частиц , которая инвариантна относительно преобразований Галилея. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что данное утверждение справедливо только в предположении, что взаимодействие между частицами осуществляется мгновенно (нет эффектов запаздывания). Данное утверждение справедливо в классической механике, но теряет свою силу в теории относительности.

В силу однородности времени сила взаимодействия между частицами не может явным образом зависеть от времени.

Силы, которые могут быть представлены в виде (2.12) , называются центральными силами. Очевидно, что для таких сил выполняется третий закон Ньютона.