zabika.ru 1

Векторная алгебра


Некоторые величины в физике, механике и других науках полностью определяются заданием одного числа. Например, объем, масса, температура и др. Такие величины называются скалярными. Но есть величины для задания которых необходимо знать еще и направление. Например, сила, скорость, ускорение. Это векторные величины.

Любая упорядоченная пара точек A и B в пространстве определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением.

Определение: Вектор - это направленный отрезок: А – начальная точка вектора, В – конечная точка вектора.

К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение: Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.


Определение: Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение: Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение: Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Определение: Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор:

Произведение: , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (), если  < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + (+ ) = ( + )+

3) + =


4) +(-1) =

5) () = () – ассоциативность

6) (+) =  +  - дистрибутивность

7) ( + ) =  + 

8) 1 =
Некоторые формулы векторной алгебры.


  1. Для любых точек и координаты вектора определяются формулами .



  1. Если вектор задан своими координатами, то можно записать разложение вектора по ортам . Длина (модуль) вектора находится по формуле .





  1. Проекция вектора на вектор определяется формулой




  1. Скалярным произведением векторов и называется число , равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами:

.
Если известны координаты векторов

, , то ,

а угол между векторами определяется формулой

.

  1. Векторным произведением векторов и называется вектор , перпендикулярный векторам и , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , и направленный так, что из его конца кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается происходящим против часовой стрелки.






Рис. 1




Если известны координаты векторов и

, ,
то векторное произведение выражается через определитель третьего порядка:

.
Площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах и определяются формулами:

, .

  1. Смешанным произведением векторов , , называется число

.

Если известны координаты векторов

, , , то


.
Смешанное произведение, взятое по абсолютной величине, равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , . Объем пирамиды, построенной на этих векторах, составляет шестую часть объема параллелепипеда.

Vпараллелепипеда,
Vпирамиды.
Пример: Даны векторы , и .

Найти:

а) скалярное произведение векторов ;

б) векторное произведение векторов ;

в) смешанное произведение векторов ;

г) проекцию вектора на вектор ;

д) площадь треугольника, построенного на векторах , ;


е) объем пирамиды, построенной на векторах , , .
, ; .
Решение: Запишем координаты векторов , ,

,
,
.
1. Скалярное произведение векторов равно:
2. Векторное произведение равно:

;
3. Смешанное произведение равно:

;
4. ;

5. Площадь треугольника: ;

6. Объем пирамиды: .

Контрольные вопросы


  1. Матрицы и действия над ними.

  2. Обратная матрица.

  3. Определители и их свойства. Вычисление определителей.

  4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

  5. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

  6. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

  7. Векторы, координаты вектора, модуль. Линейные операции над векторами.

  8. Скалярное произведение векторов, свойства, вычисление, приложение к геометрическим задачам.

  9. Векторное произведение векторов, свойства, вычисление, приложение к геометрическим задачам.

  10. Смешанное произведение векторов, свойства, вычисление, приложение к геометрическим задачам.