zabika.ru 1

61. Условие непрерывности монотонной функции. Рассмотрим функцию монотонно возрастающую (убывающую)1 в промежутке . Этот промежуток может быть как конечным, так и бесконечным, замкнутым, полуоткрытым или открытым. Мы установим сейчас простой признак, с помощью которого для функций подобного типа сразу может быть обнаружена ее непрерывность во всем промежутке
Теорема. Если множество значений монотонно возрастающей (убывающей) функции которые она принимает, когда изменяется в промежутке , содержится в некотором промежутке и заполняет его сплошь, то функция в промежутке непрерывна2.

Возьмем любую точку из и, предполагая, что она не является правым концом этого промежутка, докажем непрерывность функциив точке справа; аналогично может быть доказана и непрерывность функции в точке слева, если не есть левый конец рассматриваемого промежутка, а отсюда по совокупности и следует заключение теоремы.


Точка принадлежит промежутку не являясь его правым концом (ведь в есть значения а им отвечают в значения Пусть ε будет произвольно малое положительное число; впрочем, мы предположим его вдобавок настолько малым, чтобы и значение тоже принадлежало промежутку Так как по предположению то в найдетсятакое значение что будет


причем, очевидно, (ибо, при и Положим так что Если теперь




то



Это и значит, что



т. е. функция действительно непрерывна в точке справа



что и требовалось доказать. Рис. 27 служит иллюстрацией проведенного рассуждения.


1 Для отчетливости мы будем предполагать функцию монотонно возрастающей в строгом смысле (хотя теорема верна и для монотонных функций в широком смысле).

2 Впоследствии мы покажем, что то условие, которое здесь сформулировано как достаточное для непрерывности монотонной функции, является и необходимым.